Trisecando los ángulos de un triángulo podemos obtener otro triángulo que siempre es equilátero.

A partir de cada punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo se obtiene una recta llamada recta de Simson.

Mostracion de que los tres puntos que determinan cada rectas de Wallace están alineados.

Steiner probó que la envolvente de las rectas de Simson es una deltoide.

La construcción de la deltoide de Steiner como hipocicloide está relacionada con la circunferencia de los nueve puntos.

El triángulo equilátero determinado por la deltoide de Steiner tiene los lados paralelos al triángulo de Morley pero con orientación opuesta.

Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Teorema del Ängulo central: El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.

Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso I: Cuando el arco es una semicircunferencia el ángulo inscrito es recto.

Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso II: Cuando una cuerda de las que forman el ángulo inscrito es un diámetro.

Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Prueba del caso general.

Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.

Estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas.

Cuadro en el que, entre otras muchas cosas, podemos ver una anamorfosis de una calavera

En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.

Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.

La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.

A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.

Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.

Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.

Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.

La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.

El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.

Transformando una circunferencia podemos obtener una elipse (como hizo Arquímedes para calcular su área). A partir de la ecuación de la circunferencia deducimos la de la elipse.

Una elipse tiene dos focos y la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es una constante.

El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado.

Howard Eves, matemático e historiador de las matemáticas, recibió el premio George Polya por el artículo Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri)

Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.

Se muestra la esfera y el tetraedro de Howard Eves con sus correspondientes secciones congruentes.

Un octavo de un dodecaedro regular de arista 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de arista 1.

Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.

El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.

El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.

El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.

Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.

Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.

El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.

El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices

El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.

El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.

Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.

Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.

Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.

La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.

Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.

Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.

Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.

Desarrollos planos de conos truncados por un plano oblicuo. La sección es una elipse.

Breve introducción a una serie de páginas sobre técnicas sencillas de construcción de poliedros. Un poco de historia.

Dibujar, recortar y pegar desarrollos de poliedros sobre cartulina. Podemos empezar por un cubo y un tetraedro.

Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.

El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.

A partir de tres rectángulos áureos entrelazados podemos construir un icosaedro.

Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.

Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.

Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.

Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.

Representación gráfica de progresiones geométricas.

Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4

La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.

La constante de Euler se define como una serie convergente.

Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.

Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.

Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.

Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.

Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.

La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.

La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.

La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola

Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.

Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.

La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.

Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.

Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.

La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.

Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.

Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.

Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.

Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.

El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.

El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).

Esta propiedad es la base que nos permite usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.

Una "Mostración" de la propiedad de la integral de la hipérbola que nos permitirá transformar multiplicaciones en sumas.

Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma.

El logaritmo natural se define como una integral de la hipérbola equilátera.

Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.

El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1.

El número e se puede definir como una integral o como un límite. Ambas definiciones coinciden.

Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.

Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).

Dos puntos determinan una función exponencial y su derivada es otra exponencial.

Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.

Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.

Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.

Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.

La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.

La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.

La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.

Se puede ver como una rotación dilatativa.

Una progresión geométrica compleja está relacionada con las espirales equiangulares.

Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.

Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.

Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.

Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.

Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.

Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.

Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.

Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.

La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.

La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.

La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.

La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.

La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales

El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.

Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.

Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.

La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.

La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.

La distribución binomial modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito.

En algunos casos, una distribución Binomial puede aproximarse con una distribución Normal con la misma media y varianza.

La distribución de Poisson también se llama distribución de sucesos raros.

La distribución normal fue estudiada por Gauss.

Propiedad de las distribuciones normales.

Cálculo aproximado de probabilidades de diferentes intervalos en distribuciones normales.

La distribución t de Student fue estudiada por Gosset y se aproxima a una distribución normal.

Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.

En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.

En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.

Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).

Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.

Kepler estudió el volumen y la superficie de una esfera. La esfera puede considerarse formada por conos cuya altura es el radio de la esfera. Entonces el volumen de la esfera será la suma de todos esos conos. Así obtiene la relación entre la superficie de la esfera y su volumen.

Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes.

Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera

Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.