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Geometría

Triángulos
Triángulo de Morley | matematicas visuales
Trisecando los ángulos de un triángulo podemos obtener otro triángulo que siempre es equilátero.
Rectas de Wallace | matematicas visuales
A partir de cada punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo se obtiene una recta llamada recta de Simson.
Rectas de Wallace | Mostración | matematicas visuales
Mostracion de que los tres puntos que determinan cada rectas de Wallace están alineados.
Deltoide de Steiner | matematicas visuales
Steiner probó que la envolvente de las rectas de Simson es una deltoide.
El deltoide de Steiner es hipocicloide | matematicas visuales
La construcción de la deltoide de Steiner como hipocicloide está relacionada con la circunferencia de los nueve puntos.
El deltoide y el triángulo de Morley | matematicas visuales
El triángulo equilátero determinado por la deltoide de Steiner tiene los lados paralelos al triángulo de Morley pero con orientación opuesta.
El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicas visuales
Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Circunferencias
Ángulo capaz en una circunferencia | matematicas visuales
El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.
Ángulo capaz en una circunferencia| Mostración | matematicas visuales
Mostración de la propiedad del ángulo capaz.

Transformaciones del plano
Rotación dilatativa | matematicas visuales
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
Durero | matematicas visuales
Estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas.
Los Embajadores de Holbein el Joven | matematicas visuales
Cuadro en el que, entre otras muchas cosas, podemos ver una anamorfosis de una calavera

Espirales
Espiral equiangular | matematicas visuales
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Dilatación y giro de la espiral equiangular | matematicas visuales
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.

Proporción áurea
Rectángulo áureo | matematicas visuales
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Rectángulo áureo y rotación dilatativa | matematicas visuales
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares | matematicas visuales
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
Espiral áurea | matematicas visuales
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.

Geometría en el espacio
Volumen del tetraedro | matematicas visuales
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Secciones en un tetraedro | matematicas visuales
Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado.
Secciones en el tetraedro de Howard Eves | matematicas visuales
Howard Eves, matemático e historiador de las matemáticas, recibió el premio George Polya por el artículo Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri)
Secciones en una esfera | matematicas visuales
Queremos estudiar la sorprendente congruencia Cavalieri entre la esfera y un poliedro. En esta página vemos las secciones en la esfera
Sorprendente congruencia Cavalieri entre una esfera y un tetraedro | matematicas visuales
Se muestra la esfera y el tetraedro de Howard Eves con sus correspondientes secciones congruentes.
El dodecaedro regular | matematicas visuales
Un octavo de un dodecaedro regular de arista 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de arista 1.
Volumen del dodecaedro regular | matematicas visuales
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
El volumen del octaedro | matematicas visuales
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El icosaedro y su volumen | matematicas visuales
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
El volumen del octaedro truncado | matematicas visuales
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro truncado tesela el espacio | matematicas visuales
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Sección hexagonal de un cubo | matematicas visuales
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
El octaedro truncado formado por medios cubos | matematicas visuales
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.

Análisis real

Sucesiones y series
Progresiones geométricas | matematicas visuales
Representación gráfica de progresiones geométricas.
Suma de la serie geométrica de razón 1/4 | matematicas visuales
Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4
Suma de la serie geométrica de razón 1/2 | matematicas visuales
La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.
Gamma, la constante de Euler | matematicas visuales
La constante de Euler se define como una serie convergente.

Potencias y polinomios
Potencias con exponentes naturales | matematicas visuales
Exploramos unas funciones particularmente sencillas.
Potencias con exponentes racionales positivos | matematicas visuales
Se pueden extiender las funciones potencia con exponentes naturales (y sus inversas) y considerar exponentes racionales.
Polinomio de grado 3 con 3 raíces reales | matematicas visuales
Consideando un polinomio de grado 3 con 3 raíces reales podemos ver el efecto de modificar esas raíces.
Aproximaciones polinómicas | matematicas visuales
Combinando potencias obtenemos polinomios y nos podemos plantear la función polinómica que pasa por unos puntos.

Integral
Integral de Riemann | matematicas visuales
Aproximación al área usando rectángulos.
Acotando la integral | matematicas visuales
Con funciones monótonas se puede obtener cotas sencillas del error de aproximación.
Integral de potencias | matematicas visuales
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri.
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico | matematicas visuales
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino | matematicas visuales
Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Exponenciales y logaritmos
Una propiedad de la integral de la hipérbola | matematicas visuales
Esta propiedad es la base que nos permite usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
Una propiedad de la integral de la hipérbola | Mostración | matematicas visuales
Una "Mostración" de la propiedad de la integral de la hipérbola que nos permitirá transformar multiplicaciones en sumas.
El logaritmo de un producto | matematicas visuales
Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma.
Definición de logaritmo como una integral | matematicas visuales
El logaritmo natural se define como una integral de la hipérbola equilátera.
Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicas visuales
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Aproximación del número e | matematicas visuales
El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1.
Dos definiciones del número e | matematicas visuales
El número e se puede definir como una integral o como un límite. Ambas definiciones coinciden.
La exponencial como inversa del logaritmo | matematicas visuales
Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
Hipérbolas, logaritmos y exponenciales | matematicas visuales
Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
Funciones exponenciales | matematicas visuales
Dos puntos determinan una función exponencial y su derivada es otra exponencial.
Desintegración radioactiva | matematicas visuales
Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.

Polinomios de Taylor
Polinomios de Taylor: función exponencial | matematicas visuales
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicas visuales
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Polinomios de Taylor: función seno | matematicas visuales
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor: raíz cuadrada | matematicas visuales
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor: función racional 1 | matematicas visuales
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor: función racional 2 | matematicas visuales
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor: función racional con 2 singularidades | matematicas visuales
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
Polinomios de Taylor: función racional sin singularidades reales | matematicas visuales
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.

Complejos

Multiplicación de complejos
Multiplicando dos números complejos | matematicas visuales
Se puede ver como una rotación dilatativa.
La multiplicación como una transformación del plano complejo | matematicas visuales
Progresión geométrica | matematicas visuales
Una progresión geométrica compleja está relacionada con las espirales equiangulares.

Funciones complejas
Potencias de exponente natural | matematicas visuales
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Polinomio de grado 3 | matematicas visuales
Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Polinomio de grado n | matematicas visuales
Un polinomio de grado n tiene n ceros
Polinomio de grado n (variante) | matematicas visuales
Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.
Polinomio de grado 2 | matematicas visuales
Representación de los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Cero y polo | matematicas visuales
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
Cero y polo (variante) | matematicas visuales
Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
Transformaciones de Moebius | matematicas visuales
Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
Función exponencial compleja | matematicas visuales
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja | matematicas visuales
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal | matematicas visuales
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Inversión | matematicas visuales
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Inversion: una transformación anticonforme | matematicas visuales
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario | matematicas visuales
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.

Polinomios de Taylor
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades | matematicas visuales
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
Polinomios de Taylor: función exponencial compleja | matematicas visuales
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función coseno compleja | matematicas visuales
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.

Probabilidad

Variables aleatorias
Distribución binomial | matematicas visuales
La distribución binomial modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito.
Distribución de Poisson | matematicas visuales
La distribución de Poisson también se llama distribución de sucesos raros.
Distribución Normal | matematicas visuales
La distribución normal fue estudiada por Gauss.
Una, dos y tres desviaciones típicas | matematicas visuales
Propiedad de las distribuciones normales.
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales | matematicas visuales
Cálculo aproximado de probabilidades de diferentes intervalos en distribuciones normales.
Distribución t de Student | matematicas visuales
La distribución t de Student fue estudiada por Gosset y se aproxima a una distribución normal.
Cálculo de probabilidades en distribuciones t de Student | matematicas visuales

Historia

Pitágoras
El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicas visuales
Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Arquímedes
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico | matematicas visuales
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.

Kepler
Kepler: El área de un círculo | matematicas visuales
Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
Kepler: Superficie y volumen de una esfera | matematicas visuales
Kepler estudió el volumen y la superficie de una esfera. La esfera puede considerarse formada por conos cuya altura es el radio de la esfera. Entonces el volumen de la esfera será la suma de todos esos conos. Así obtiene la relación entre la superficie de la esfera y su volumen.
Kepler: El volumen de un barril de vino | matematicas visuales
Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes.
Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino | matematicas visuales
Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Cavalieri
Cavalieri: El volumen de una esfera | matematicas visuales
Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera

La función logaritmo
Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicas visuales
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.