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Triángulo de Morley | matematicasVisuales Rectas de Wallace | matematicasVisuales Rectas de Wallace | Mostración | matematicasVisuales Deltoide de Steiner | matematicasVisuales El deltoide de Steiner es hipocicloide | matematicasVisuales El deltoide y el triángulo de Morley | matematicasVisuales El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicasVisuales
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso I | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso II | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso General | matematicasVisuales Rotación dilatativa | matematicasVisuales Durero | matematicasVisuales Los Embajadores de Holbein el Joven | matematicasVisuales
Espiral equiangular | matematicasVisuales Dilatación y giro de la espiral equiangular | matematicasVisuales La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea | matematicasVisuales La proporción áurea | matematicasVisuales Rectángulo áureo | matematicasVisuales Rectángulo áureo y rotación dilatativa | matematicasVisuales Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares | matematicasVisuales
Espiral áurea | matematicasVisuales Proporción del papel estándar DIN A | matematicasVisuales Ecuación de la elipse | matematicasVisuales La elipse y sus focos | matematicasVisuales Volumen del tetraedro | matematicasVisuales Secciones en un tetraedro | matematicasVisuales Secciones en el tetraedro de Howard Eves | matematicasVisuales
Secciones en una esfera | matematicasVisuales Sorprendente congruencia Cavalieri entre una esfera y un tetraedro | matematicasVisuales El dodecaedro regular | matematicasVisuales Volumen del dodecaedro regular | matematicasVisuales El volumen del octaedro | matematicasVisuales El icosaedro y su volumen | matematicasVisuales El volumen del octaedro truncado | matematicasVisuales
El octaedro truncado tesela el espacio | matematicasVisuales Sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales El octaedro truncado formado por medios cubos | matematicasVisuales El volumen del cuboctaedro | matematicasVisuales El volumen del cuboctaedro (II) | matematicasVisuales Cuboctaedro estrellado | matematicasVisuales El volumen del octaedro estrellado (stella octangula) | matematicasVisuales
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (4): Cilindros cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos | matematicasVisuales
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (8): Conos truncados por un plano oblicuo | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (1): Introducción | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (2): Desarrollos de cartulina | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (3): Cara a cara con cartulina | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (4): Origami modular | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (5): El rectángulo áureo y el icosaedro | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (6): Tubos | matematicasVisuales
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (7): Zome | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (8): Tensegrity | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza | matematicasVisuales Progresiones geométricas | matematicasVisuales Suma de la serie geométrica de razón 1/4 | matematicasVisuales Suma de la serie geométrica de razón 1/2 | matematicasVisuales Gamma, la constante de Euler | matematicasVisuales
Funciones polinómicas (1): funciones afines | matematicasVisuales Potencias con exponentes naturales (y exponentes racionales positivos) | matematicasVisuales Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas | matematicasVisuales Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas | matematicasVisuales Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange | matematicasVisuales Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines | matematicasVisuales Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas | matematicasVisuales
Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas | matematicasVisuales Funciones polinómicas y derivada (4): Polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general) | matematicasVisuales Funciones polinómicas y derivada (5): Antiderivadas | matematicasVisuales Integral definida | matematicasVisuales Integral indefinida | matematicasVisuales Las funciones monótonas son integrables | matematicasVisuales Integral de funciones potencia | matematicasVisuales
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico | matematicasVisuales Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino | matematicasVisuales Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines | matematicasVisuales Funciones polinómicas e integral (2): Funciones cuadráticas | matematicasVisuales Funciones polinómicas e integral (3): polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general) | matematicasVisuales El Teorema Fundamental del Cálculo (1) | matematicasVisuales El Teorema Fundamental del Cálculo (2) | matematicasVisuales
Una propiedad de la integral de la hipérbola | matematicasVisuales Una propiedad de la integral de la hipérbola | Mostración | matematicasVisuales El logaritmo de un producto | matematicasVisuales Definición de logaritmo como una integral | matematicasVisuales Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales Aproximación del número e | matematicasVisuales Dos definiciones del número e | matematicasVisuales
La exponencial como inversa del logaritmo | matematicasVisuales Hipérbolas, logaritmos y exponenciales | matematicasVisuales Funciones exponenciales | matematicasVisuales Desintegración radioactiva | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (1): función exponencial | matematicasVisuales Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (2): función seno | matematicasVisuales
Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (4): función racional 1 | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (5): función racional 2 | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades | matematicasVisuales Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales | matematicasVisuales Multiplicando dos números complejos | matematicasVisuales La multiplicación como una transformación del plano complejo | matematicasVisuales
Progresión geométrica | matematicasVisuales Funciones polinómicas complejas (1): Potencias de exponente natural | matematicasVisuales Funciones polinómicas complejas (2): Polinomio de grado 2 | matematicasVisuales Funciones polinómicas complejas (3): Polinomio de grado 3 | matematicasVisuales Funciones polinómicas complejas (4): Polinomio de grado n | matematicasVisuales Funciones polinómicas complejas (5): Polinomio de grado n (variante) | matematicasVisuales Cero y polo | matematicasVisuales
Cero y polo (variante) | matematicasVisuales Transformaciones de Moebius | matematicasVisuales Función exponencial compleja | matematicasVisuales La función coseno compleja | matematicasVisuales La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal | matematicasVisuales Inversión | matematicasVisuales Inversion: una transformación anticonforme | matematicasVisuales
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario | matematicasVisuales Multifunciones: Dos puntos de ramificación | matematicasVisuales Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades | matematicasVisuales Polinomios de Taylor: función exponencial compleja | matematicasVisuales Polinomios de Taylor: función coseno compleja | matematicasVisuales Distribución binomial | matematicasVisuales Aproximación normal a la distribución Binomial | matematicasVisuales
Distribución de Poisson | matematicasVisuales Distribución Normal | matematicasVisuales Una, dos y tres desviaciones típicas | matematicasVisuales Cálculo de probabilidades en distribuciones normales | matematicasVisuales Distribución t de Student | matematicasVisuales Cálculo de probabilidades en distribuciones t de Student | matematicasVisuales El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicasVisuales
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico | matematicasVisuales Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva | matematicasVisuales Arquímedes y el área de la elipse: demostración | matematicasVisuales Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales
Kepler: El área de un círculo | matematicasVisuales Kepler: Superficie y volumen de una esfera | matematicasVisuales Kepler: El volumen de un barril de vino | matematicasVisuales Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino | matematicasVisuales Cavalieri: El volumen de una esfera | matematicasVisuales Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales


Geometría

Triángulos
Triángulo de Morley | matematicasVisuales
Trisecando los ángulos de un triángulo podemos obtener otro triángulo que siempre es equilátero.
Rectas de Wallace | matematicasVisuales
A partir de cada punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo se obtiene una recta llamada recta de Simson.
Rectas de Wallace | Mostración | matematicasVisuales
Mostracion de que los tres puntos que determinan cada rectas de Wallace están alineados.
Deltoide de Steiner | matematicasVisuales
Steiner probó que la envolvente de las rectas de Simson es una deltoide.
El deltoide de Steiner es hipocicloide | matematicasVisuales
La construcción de la deltoide de Steiner como hipocicloide está relacionada con la circunferencia de los nueve puntos.
El deltoide y el triángulo de Morley | matematicasVisuales
El triángulo equilátero determinado por la deltoide de Steiner tiene los lados paralelos al triángulo de Morley pero con orientación opuesta.
El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicasVisuales
Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Circunferencias
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | matematicasVisuales
Teorema del Ängulo central: El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso I | matematicasVisuales
Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso I: Cuando el arco es una semicircunferencia el ángulo inscrito es recto.
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso II | matematicasVisuales
Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso II: Cuando una cuerda de las que forman el ángulo inscrito es un diámetro.
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso General | matematicasVisuales
Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Prueba del caso general.

Transformaciones del plano
Rotación dilatativa | matematicasVisuales
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
Durero | matematicasVisuales
Estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas.
Los Embajadores de Holbein el Joven | matematicasVisuales
Cuadro en el que, entre otras muchas cosas, podemos ver una anamorfosis de una calavera

Espirales
Espiral equiangular | matematicasVisuales
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Dilatación y giro de la espiral equiangular | matematicasVisuales
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.

Proporción áurea
La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea | matematicasVisuales
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
La proporción áurea | matematicasVisuales
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo | matematicasVisuales
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Rectángulo áureo y rotación dilatativa | matematicasVisuales
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares | matematicasVisuales
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
Espiral áurea | matematicasVisuales
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.

Proporciones
Proporción del papel estándar DIN A | matematicasVisuales
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.

Elipses
Ecuación de la elipse | matematicasVisuales
Transformando una circunferencia podemos obtener una elipse (como hizo Arquímedes para calcular su área). A partir de la ecuación de la circunferencia deducimos la de la elipse.
La elipse y sus focos | matematicasVisuales
Una elipse tiene dos focos y la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es una constante.

Geometría en el espacio
Volumen del tetraedro | matematicasVisuales
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Secciones en un tetraedro | matematicasVisuales
Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado.
Secciones en el tetraedro de Howard Eves | matematicasVisuales
Howard Eves, matemático e historiador de las matemáticas, recibió el premio George Polya por el artículo Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri)
Secciones en una esfera | matematicasVisuales
Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.
Sorprendente congruencia Cavalieri entre una esfera y un tetraedro | matematicasVisuales
Se muestra la esfera y el tetraedro de Howard Eves con sus correspondientes secciones congruentes.
El dodecaedro regular | matematicasVisuales
Un octavo de un dodecaedro regular de arista 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de arista 1.
Volumen del dodecaedro regular | matematicasVisuales
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
El volumen del octaedro | matematicasVisuales
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El icosaedro y su volumen | matematicasVisuales
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
El volumen del octaedro truncado | matematicasVisuales
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro truncado tesela el espacio | matematicasVisuales
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
El octaedro truncado formado por medios cubos | matematicasVisuales
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El volumen del cuboctaedro | matematicasVisuales
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II) | matematicasVisuales
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Cuboctaedro estrellado | matematicasVisuales
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
El volumen del octaedro estrellado (stella octangula) | matematicasVisuales
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.

Desarrollos planos de cuerpos geométricos
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos | matematicasVisuales
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros | matematicasVisuales
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (4): Cilindros cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide | matematicasVisuales
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos | matematicasVisuales
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (8): Conos truncados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Desarrollos planos de conos truncados por un plano oblicuo. La sección es una elipse.

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (1): Introducción | matematicasVisuales
Breve introducción a una serie de páginas sobre técnicas sencillas de construcción de poliedros. Un poco de historia.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (2): Desarrollos de cartulina | matematicasVisuales
Dibujar, recortar y pegar desarrollos de poliedros sobre cartulina. Podemos empezar por un cubo y un tetraedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (3): Cara a cara con cartulina | matematicasVisuales
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (4): Origami modular | matematicasVisuales
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (5): El rectángulo áureo y el icosaedro | matematicasVisuales
A partir de tres rectángulos áureos entrelazados podemos construir un icosaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (6): Tubos | matematicasVisuales
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (7): Zome | matematicasVisuales
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (8): Tensegrity | matematicasVisuales
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza | matematicasVisuales
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.

Análisis real

Sucesiones y series
Progresiones geométricas | matematicasVisuales
Representación gráfica de progresiones geométricas.
Suma de la serie geométrica de razón 1/4 | matematicasVisuales
Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4
Suma de la serie geométrica de razón 1/2 | matematicasVisuales
La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.
Gamma, la constante de Euler | matematicasVisuales
La constante de Euler se define como una serie convergente.

Funciones polinómicas y potencias
Funciones polinómicas (1): funciones afines | matematicasVisuales
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Potencias con exponentes naturales (y exponentes racionales positivos) | matematicasVisuales
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas | matematicasVisuales
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas | matematicasVisuales
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange | matematicasVisuales
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.

Funciones polinómicas y derivada
Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines | matematicasVisuales
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas | matematicasVisuales
La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.
Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas | matematicasVisuales
La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola
Funciones polinómicas y derivada (4): Polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general) | matematicasVisuales
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Funciones polinómicas y derivada (5): Antiderivadas | matematicasVisuales
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.

Integral
Integral definida | matematicasVisuales
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Integral indefinida | matematicasVisuales
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Las funciones monótonas son integrables | matematicasVisuales
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Integral de funciones potencia | matematicasVisuales
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico | matematicasVisuales
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino | matematicasVisuales
Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Funciones polinómicas e integral
Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines | matematicasVisuales
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Funciones polinómicas e integral (2): Funciones cuadráticas | matematicasVisuales
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
Funciones polinómicas e integral (3): polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general) | matematicasVisuales
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.

El Teorema Fundamental del Cálculo
El Teorema Fundamental del Cálculo (1) | matematicasVisuales
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Teorema Fundamental del Cálculo (2) | matematicasVisuales
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).

Exponenciales y logaritmos
Una propiedad de la integral de la hipérbola | matematicasVisuales
Esta propiedad es la base que nos permite usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
Una propiedad de la integral de la hipérbola | Mostración | matematicasVisuales
Una "Mostración" de la propiedad de la integral de la hipérbola que nos permitirá transformar multiplicaciones en sumas.
El logaritmo de un producto | matematicasVisuales
Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma.
Definición de logaritmo como una integral | matematicasVisuales
El logaritmo natural se define como una integral de la hipérbola equilátera.
Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Aproximación del número e | matematicasVisuales
El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1.
Dos definiciones del número e | matematicasVisuales
El número e se puede definir como una integral o como un límite. Ambas definiciones coinciden.
La exponencial como inversa del logaritmo | matematicasVisuales
Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
Hipérbolas, logaritmos y exponenciales | matematicasVisuales
Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
Funciones exponenciales | matematicasVisuales
Dos puntos determinan una función exponencial y su derivada es otra exponencial.
Desintegración radioactiva | matematicasVisuales
Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.

Polinomios de Taylor
Polinomios de Taylor (1): función exponencial | matematicasVisuales
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Polinomios de Taylor (2): función seno | matematicasVisuales
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada | matematicasVisuales
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (4): función racional 1 | matematicasVisuales
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (5): función racional 2 | matematicasVisuales
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades | matematicasVisuales
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales | matematicasVisuales
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.

Complejos

Multiplicación de complejos
Multiplicando dos números complejos | matematicasVisuales
Se puede ver como una rotación dilatativa.
La multiplicación como una transformación del plano complejo | matematicasVisuales
Progresión geométrica | matematicasVisuales
Una progresión geométrica compleja está relacionada con las espirales equiangulares.

Funciones complejas
Funciones polinómicas complejas (1): Potencias de exponente natural | matematicasVisuales
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Funciones polinómicas complejas (2): Polinomio de grado 2 | matematicasVisuales
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Funciones polinómicas complejas (3): Polinomio de grado 3 | matematicasVisuales
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Funciones polinómicas complejas (4): Polinomio de grado n | matematicasVisuales
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Funciones polinómicas complejas (5): Polinomio de grado n (variante) | matematicasVisuales
Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.
Cero y polo | matematicasVisuales
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
Cero y polo (variante) | matematicasVisuales
Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
Transformaciones de Moebius | matematicasVisuales
Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
Función exponencial compleja | matematicasVisuales
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja | matematicasVisuales
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal | matematicasVisuales
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Inversión | matematicasVisuales
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Inversion: una transformación anticonforme | matematicasVisuales
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario | matematicasVisuales
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Multifunciones: Dos puntos de ramificación | matematicasVisuales
Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.

Polinomios de Taylor
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades | matematicasVisuales
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
Polinomios de Taylor: función exponencial compleja | matematicasVisuales
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función coseno compleja | matematicasVisuales
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.

Probabilidad

Variables aleatorias
Distribución binomial | matematicasVisuales
La distribución binomial modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito.
Aproximación normal a la distribución Binomial | matematicasVisuales
En algunos casos, una distribución Binomial puede aproximarse con una distribución Normal con la misma media y varianza.
Distribución de Poisson | matematicasVisuales
La distribución de Poisson también se llama distribución de sucesos raros.
Distribución Normal | matematicasVisuales
La distribución normal fue estudiada por Gauss.
Una, dos y tres desviaciones típicas | matematicasVisuales
Propiedad de las distribuciones normales.
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales | matematicasVisuales
Cálculo aproximado de probabilidades de diferentes intervalos en distribuciones normales.
Distribución t de Student | matematicasVisuales
La distribución t de Student fue estudiada por Gosset y se aproxima a una distribución normal.
Cálculo de probabilidades en distribuciones t de Student | matematicasVisuales

Historia

Pitágoras
El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicasVisuales
Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Arquímedes
El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico | matematicasVisuales
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva | matematicasVisuales
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.
Arquímedes y el área de la elipse: demostración | matematicasVisuales
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.

Dibujos de Leonardo da Vinci para 'La Divina Proporción' de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).

Kepler
Kepler: El área de un círculo | matematicasVisuales
Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
Kepler: Superficie y volumen de una esfera | matematicasVisuales
Kepler estudió el volumen y la superficie de una esfera. La esfera puede considerarse formada por conos cuya altura es el radio de la esfera. Entonces el volumen de la esfera será la suma de todos esos conos. Así obtiene la relación entre la superficie de la esfera y su volumen.
Kepler: El volumen de un barril de vino | matematicasVisuales
Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes.
Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino | matematicasVisuales
Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Cavalieri
Cavalieri: El volumen de una esfera | matematicasVisuales
Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera

La función logaritmo
Mercator y Euler: La función logaritmo | matematicasVisuales
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.