Matematicas Visuales | mapa sitemap index

Geometría
Triángulos
	Triángulo de Morley Trisecando los ángulos de un triángulo podemos obtener otro triángulo que siempre es equilátero.
	Rectas de Wallace A partir de cada punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo se obtiene una recta llamada recta de Simson.
	Rectas de Wallace \| Mostración Mostracion de que los tres puntos que determinan cada rectas de Wallace están alineados.
	Deltoide de Steiner Steiner probó que la envolvente de las rectas de Simson es una deltoide.
	El deltoide de Steiner es hipocicloide La construcción de la deltoide de Steiner como hipocicloide está relacionada con la circunferencia de los nueve puntos.
	El deltoide y el triángulo de Morley El triángulo equilátero determinado por la deltoide de Steiner tiene los lados paralelos al triángulo de Morley pero con orientación opuesta.
	El teorema de Pitágoras en un mosaico Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.
Circunferencias
	Ángulo capaz en una circunferencia El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.
	Ángulo capaz en una circunferencia\| Mostración Mostración de la propiedad del ángulo capaz.
Transformaciones del plano
	Rotación dilatativa Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
	Durero Estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas.
	Los Embajadores de Holbein el Joven Cuadro en el que, entre otras muchas cosas, podemos ver una anamorfosis de una calavera
Espirales
	Espiral equiangular En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
	Dilatación y giro de la espiral equiangular Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
Proporción áurea
	Rectángulo áureo Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
	Rectángulo áureo y rotación dilatativa Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
	Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
	Espiral áurea La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Geometría en el espacio
	Volumen del tetraedro El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
	Secciones en un tetraedro Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado.
	Secciones en el tetraedro de Howard Eves Howard Eves, matemático e historiador de las matemáticas, recibió el premio George Polya por el artículo Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri)
	Secciones en una esfera Queremos estudiar la sorprendente congruencia Cavalieri entre la esfera y un poliedro. En esta página vemos las secciones en la esfera
	Sorprendente congruencia Cavalieri entre una esfera y un tetraedro Se muestra la esfera y el tetraedro de Howard Eves con sus correspondientes secciones congruentes.
	El dodecaedro regular Un octavo de un dodecaedro regular de arista 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de arista 1.
	Volumen del dodecaedro regular Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
	El volumen del octaedro El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
	El icosaedro y su volumen Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
	El volumen del octaedro truncado El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
	El octaedro truncado tesela el espacio El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
	Sección hexagonal de un cubo Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
	El octaedro truncado formado por medios cubos Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
Análisis real
Sucesiones y series
	Progresiones geométricas Representación gráfica de progresiones geométricas.
	Suma de la serie geométrica de razón 1/4 Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4
	Suma de la serie geométrica de razón 1/2 La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.
	Gamma, la constante de Euler La constante de Euler se define como una serie convergente.
Potencias y polinomios
	Potencias con exponentes naturales Exploramos unas funciones particularmente sencillas.
	Potencias con exponentes racionales positivos Se pueden extiender las funciones potencia con exponentes naturales (y sus inversas) y considerar exponentes racionales.
	Polinomio de grado 3 con 3 raíces reales Consideando un polinomio de grado 3 con 3 raíces reales podemos ver el efecto de modificar esas raíces.
	Aproximaciones polinómicas Combinando potencias obtenemos polinomios y nos podemos plantear la función polinómica que pasa por unos puntos.
Integral
	Integral de Riemann Aproximación al área usando rectángulos.
	Acotando la integral Con funciones monótonas se puede obtener cotas sencillas del error de aproximación.
	Integral de potencias La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri.
	El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
	Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.
Exponenciales y logaritmos
	Una propiedad de la integral de la hipérbola Esta propiedad es la base que nos permite usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
	Una propiedad de la integral de la hipérbola \| Mostración Una "Mostración" de la propiedad de la integral de la hipérbola que nos permitirá transformar multiplicaciones en sumas.
	El logaritmo de un producto Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma.
	Definición de logaritmo como una integral El logaritmo natural se define como una integral de la hipérbola equilátera.
	Mercator y Euler: La función logaritmo Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
	Aproximación del número e El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1.
	Dos definiciones del número e El número e se puede definir como una integral o como un límite. Ambas definiciones coinciden.
	La exponencial como inversa del logaritmo Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
	Hipérbolas, logaritmos y exponenciales Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
	Funciones exponenciales Dos puntos determinan una función exponencial y su derivada es otra exponencial.
	Desintegración radioactiva Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.
Polinomios de Taylor
	Polinomios de Taylor: función exponencial Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
	Mercator y Euler: La función logaritmo Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
	Polinomios de Taylor: función seno Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
	Polinomios de Taylor: raíz cuadrada La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función racional 1 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función racional 2 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función racional con 2 singularidades La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
	Polinomios de Taylor: función racional sin singularidades reales La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
Complejos
Multiplicación de complejos
	Multiplicando dos números complejos Se puede ver como una rotación dilatativa.
	La multiplicación como una transformación del plano complejo
	Progresión geométrica Una progresión geométrica compleja está relacionada con las espirales equiangulares.
Funciones complejas
	Potencias de exponente natural Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
	Polinomio de grado 3 Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
	Polinomio de grado n Un polinomio de grado n tiene n ceros
	Polinomio de grado n (variante) Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.
	Polinomio de grado 2 Representación de los óvalos de Cassini y la lemniscata.
	Cero y polo Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
	Cero y polo (variante) Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
	Transformaciones de Moebius Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
	Función exponencial compleja La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
	La función coseno compleja La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
	La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
	Inversión La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
	Inversion: una transformación anticonforme La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
$Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario \| matematicas visuales$	Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Polinomios de Taylor
	Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
	Polinomios de Taylor: función exponencial compleja La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
	Polinomios de Taylor: función coseno compleja La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Probabilidad
Variables aleatorias
	Distribución binomial La distribución binomial modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito.
	Distribución de Poisson La distribución de Poisson también se llama distribución de sucesos raros.
	Distribución Normal La distribución normal fue estudiada por Gauss.
	Una, dos y tres desviaciones típicas Propiedad de las distribuciones normales.
	Cálculo de probabilidades en distribuciones normales Cálculo aproximado de probabilidades de diferentes intervalos en distribuciones normales.
	Distribución t de Student La distribución t de Student fue estudiada por Gosset y se aproxima a una distribución normal.
	Cálculo de probabilidades en distribuciones t de Student
Historia
Pitágoras
	El teorema de Pitágoras en un mosaico Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.
Arquímedes
	El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
Kepler
	Kepler: El área de un círculo Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
	Kepler: Superficie y volumen de una esfera Kepler estudió el volumen y la superficie de una esfera. La esfera puede considerarse formada por conos cuya altura es el radio de la esfera. Entonces el volumen de la esfera será la suma de todos esos conos. Así obtiene la relación entre la superficie de la esfera y su volumen.
	Kepler: El volumen de un barril de vino Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes.
	Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.
Cavalieri
	Cavalieri: El volumen de una esfera Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera
La función logaritmo
	Mercator y Euler: La función logaritmo Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.