Como en el cso de la función exponencial, las parábolas osculatices (los polinomios de Taylor de grados cada vez mayores) nos dan aproximaciones en un intervalo cada vez mayor. Las parábolas hacen el esfuerzo de compartir con la función seno más y más oscilaciones. (Felix Klein)

La serie de Taylor de la función seno en x = 0 es:

Decimos que la función seno es una función impar porque en su serie de potencias (y en los polinomios de Taylor centrados en el origen) los únicos terminos son los de exponente impar.

Podemos cambiar el centro del desarrollo de Taylor y ver que el comportamiento de la aproximación es igualmente bueno.

El comportameinto de esta serie de potencias es muy bueno. Decimos que la serie infinita de la función seno converge para todos los valores de x.

Este no puede ser el caso para todas las funciones. Por ejemplo, ¿qué ocurrirá si algunos valores no pertenecen al dominio de la función? Podemos estudiar un ejemplo sencillo: Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada.

ENLACES

	Polinomios de Taylor: función coseno compleja La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
	Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor (4): función racional 1 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor (5): función racional 2 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
	Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
	Mercator y Euler: La función logaritmo Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
	Polinomios de Taylor (1): función exponencial Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
	La función coseno compleja La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
	La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.