3 de Junio 2013
Geometría: Ángulos de 15 grados
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Usando regla y compás podemos dibujar ángulos de 15 grados. Son ejemplos básicos de las propiedades de los ángulos central e inscrito en una circunferencia.
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6 de Mayo 2013
Geometría: Proporción áurea
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La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
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1 de Abril 2013
Análisis: Teorema Fundamental del Cálculo
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El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
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4 de Marzo 2013
Análisis: Teorema Fundamental del Cálculo
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El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
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18 de Febrero 2013
Análisis: Potencias y polinomios
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Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
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4 de Febrero 2013
Análisis: Integral
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La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
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3 de Enero 2013
Análisis: Integral
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Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
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3 de Diciembre 2012
Análisis: Integral
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Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
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12 de Noviembre 2012
Análisis: Integral
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La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
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22 de Octubre 2012
Análisis: Funciones polinómicas y derivada
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Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
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1 de Octubre 2012
Análisis: Potencias y polinomios
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Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
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17 de Septiembre 2012
Análisis: Funciones polinómicas e integral
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Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.
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27 de Agosto 2012
Análisis: Funciones polinómicas e integral
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Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
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6 de Agosto 2012
Análisis: Funciones polinómicas e integral
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Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
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18 de Junio 2012
Análisis: Funciones polinómicas y derivada
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Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
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28 de Mayo de 2012
Análisis: Funciones polinómicas y derivada
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La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola
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7 de Mayo de 2012
Análisis: Funciones polinómicas y derivada
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La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.
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16 de Abril de 2012
Análisis: Funciones polinómicas y derivada
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La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
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25 de Marzo de 2012
Geometría: Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
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Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
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20 de Marzo de 2012
Geometría: Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
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Breve introducción a una serie de páginas sobre técnicas sencillas de construcción de poliedros. Un poco de historia.
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Dibujar, recortar y pegar desarrollos de poliedros sobre cartulina. Podemos empezar por un cubo y un tetraedro.
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Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
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El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
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A partir de tres rectángulos áureos entrelazados podemos construir un icosaedro.
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Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
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Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
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Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
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20 de Febrero de 2012
Geometría: desarrollos planos de cuerpos geométricos
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Desarrollos planos de conos truncados por un plano oblicuo. La sección es una elipse.
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30 de Enero de 2012
Geometría: desarrollos planos de cuerpos geométricos
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Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
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9 de Enero de 2012
Geometría: desarrollos planos de cuerpos geométricos
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Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.
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2 de Diciembre de 2011
Geometría: desarrollos planos de cuerpos geométricos
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Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
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18 de Noviembre de 2011
Personal: El Juego de la Vida con fotos de Naturaleza
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En esta nueva versión del Juego de la Vida de John H. Conway, podemos ver más de 100 fotografía de Naturaleza. Cada vez que se ejecuta la aplicación se muestran 36 fotos elegidas al azar.
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4 de Noviembre de 2011
Geometría: desarrollos planos de cuerpos geométricos
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La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.
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21 de Octubre de 2011
Geometría: desarrollos planos de cuerpos geométricos
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Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
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7 de Octubre de 2011
Geometría: desarrollos planos de cuerpos geométricos
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Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
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30 de Septiembre de 2011
Geometría: desarrollos planos de cuerpos geométricos
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Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
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15 de Septiembre de 2011
Análisis
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Nueva versión de varias páginas sobre los Polinomios de Taylor. Mejorados los mathlets y más imágenes. Empezamos estudiando varias funciones reales pero necesitamos ir al plano complejo para comprender mejor el concepto.
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30 de Agosto de 2011
Probabilidad
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En algunos casos, una distribución Binomial puede aproximarse con una distribución Normal con la misma media y varianza.
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3 de Agosto de 2011
Probabilidad
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La distribución binomial modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito.
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26 de Junio de 2011
Geometría
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Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos. Usaremos este resultado en aplicaciones del Teorema de Cavalieri.
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29 de Mayo de 2011
Historia: Arquímedes y el área de la elipse
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En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.
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En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
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29 de Mayo de 2011
Geometria: Elipses
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Transformando una circunferencia podemos obtener una elipse (como hizo Arquímedes para calcular su área). A partir de la ecuación de la circunferencia deducimos la de la elipse.
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Una elipse tiene dos focos y la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es una constante.
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29 de Abril de 2011
Dibujos de Leonardo da Vinci para 'La Divina Proporción' de Luca Pacioli
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Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
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Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
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Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
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Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
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29 de Abril de 2011
Volúmenes de poliedros
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El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
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El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
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El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
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El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
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24 de Febrero de 2011
Geometría
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El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
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21 de Enero de 2011
Geometría
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A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
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6 de Enero de 2011
Circunferencia
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Teorema del Ängulo central: El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.
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Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso I: Cuando el arco es una semicircunferencia el ángulo inscrito es recto.
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Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso II: Cuando una cuerda de las que forman el ángulo inscrito es un diámetro.
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Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Prueba del caso general.
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18 de Septiembre de 2010
Complejos
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Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
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26 de Julio de 2010
Geometria
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El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
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15 de Julio de 2010
Complejos
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El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
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11 de Junio de 2010
Geometría
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Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
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7 de Junio de 2010
Geometría
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Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
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Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
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2 de Junio de 2010
Análisis
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La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.
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25 de Mayo de 2010
Análisis
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Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4.
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6 de Mayo de 2010
Geometría
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El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
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28 de Abril de 2010
Geometría
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El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
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21 de Abril de 2010
Geometría
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El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
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29 de Marzo de 2010
Complejos
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La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
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La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
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26 de Marzo de 2010
Historia
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Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
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Kepler estudió el volumen y la superficie de una esfera. La esfera puede considerarse formada por conos cuya altura es el radio de la esfera. Entonces el volumen de la esfera será la suma de todos esos conos. Así obtiene la relación entre la superficie de la esfera y su volumen.
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Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes.
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Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera
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8 de Diciembre de 2009
Historia
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Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.
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21 de Noviembre de 2009
Historia
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Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
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16 de Noviembre de 2009
Historia
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Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
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26 de Octubre de 2009
Historia
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Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.
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14 de Octubre de 2009
Complejos
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La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
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6 de Octubre de 2009
Complejos
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La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
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21 de Septiembre de 2009
Complejos
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La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
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14 de Septiembre de 2009
Personal
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En esta nueva versión del Juego de la Vida de John H. Conway, se eligen las fotografías al azar de entre más de 100 fotografías de Naturaleza.
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1 de Septiembre de 2009
Polinomios de Taylor
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La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
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La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
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12 de Junio de 2009
Polinomios de Taylor
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La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
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La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
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Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
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22 de Mayo de 2009
Polinomios de Taylor
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Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
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Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
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La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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9 de Mayo de 2009
Personal, nueva seccion
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El Juego de la Vida, inventado por John H. Conway, es uno de los autómatas celulares bidimensionales más famosos. Usando la colonia de un deslizador presentamos una serie de fotografías de Naturaleza..
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15 de Marzo de 2009
Geometría del espacio
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Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
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24 de Enero de 2009
Transformaciones
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Estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas.
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Cuadro en el que, entre otras muchas cosas, podemos ver una anamorfosis de una calavera
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16 de Enero de 2009
Geometría del espacio
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El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
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5 de Enero de 2009
Sucesiones y series
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La constante de Euler se define como una serie convergente.
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17 de Noviembre de 2008
Geometría del espacio
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Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
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Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
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23 de Octubre de 2008
Geometría del espacio
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El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
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Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado.
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Howard Eves, matemático e historiador de las matemáticas, recibió el premio George Polya por el artículo Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri)
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Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.
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Se muestra la esfera y el tetraedro de Howard Eves con sus correspondientes secciones congruentes.
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28 de Octubre de 2007
Complejos
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Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
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Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
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Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
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Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
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15 de Octubre de 2007
Variables aleatorias
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La distribución t de Student fue estudiada por Gosset y se aproxima a una distribución normal.
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8 de Septiembre de 2007
Variables aleatorias
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La distribución binomial modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito.
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La distribución de Poisson también se llama distribución de sucesos raros.
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La distribución normal fue estudiada por Gauss.
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Propiedad de las distribuciones normales.
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Cálculo aproximado de probabilidades de diferentes intervalos en distribuciones normales.
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26 de Agosto de 2007
Exponenciales y logaritmos
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El logaritmo natural se define como una integral de la hipérbola equilátera.
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El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1.
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El número e se puede definir como una integral o como un límite. Ambas definiciones coinciden.
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Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
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Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
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Dos puntos determinan una función exponencial y su derivada es otra exponencial.
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Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.
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8 de Marzo de 2007
Se inició la publicación de MatematicasVisuales.