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Polinomios de Taylor: Función coseno complejo


La función coseno real puede extenderse al plano complejo usando la función exponencial:

Polinomio de Taylor complejo: función coseno.  | matematicasVisuales

Como serie de potencias esta definición es equilavente a:

Esta serie converge en todo el plano complejo.

Si incrementamos el grado del polinomio de Taylor, este polinomio aproxima a la función más y mas. Lo podemos ver si miramos el Resto (la diferencia entre la función y el polinomio).

Por ejemplo, esta es la representación del polinomio de Taylor de grado 5 (En el applet, podemos modificar no solo el grado sino también el centro):

Polinomio de Taylor complejo: función coseno. Polinomio de Taylor de grado 5| matematicasVisuales

Y este es el resto. Podemos ver que la aproximación es mucho mejor cerca del centro:

Polinomio de Taylor complejo: función coseno.  Resto del polinomio de grado 5 | matematicasVisuales

Si aumentamos el grado del polinomio, la aproximación es mejor (grado 10):

Polinomio de Taylor complejo: función coseno. Polinomio de Taylor de grado 10 | matematicasVisuales

La zona donde la aproximación es buena es mucho mayor:

Polinomio de Taylor complejo: función coseno. Resto del polinomio de grado 10 | matematicasVisuales

La función coseno compleja es periódica con periodo .

Polinomio de Taylor complejo: función coseno es periódica con periodo 2*pi| matematicasVisuales

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pags. 84) - Oxford University Press

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Polinomios de Taylor (5): función racional 2
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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