Matematicas Visuales | Función exponencial compleja
matematicas visuales home | visual math home
Función Exponencial Compleja


La función exponencial compleja es la función que podemos definir como la serie de potencias que extiende la función exponencial real al plano complejo.

Esta serie converge en todo el plano complejo.

En esta página intentamos mostrar la naturaleza geométrica de esta función:

La función exponencial verifica:

La función exponencial es periódica con periodo.

La función exponencial es periódica con periodo 2 pi | matematicasvisuales

Cualquier banda horizontal del plano complejo de altura se transforma en todo el plano complejo (con la excepción del origen).

Cualquier banda del plano complejo de altura 2 pi se transforma en todo el plano excepto el origen | matematicasvisuales

Una recta se transforma en una espiral (o en una recta o en una circunferencia).

Una recta se transforma en una espiral (o en una recta o en una circunferencia) | matematicasvisuales

La fórmula de Euler

puede interpretarse como que la función exponencial enrolla el eje imaginario alrededor de la circunferencia unidad (Tristan Needham).

La formula de Euler puede interpretarse como que la función exponencial enrolla el eje imaginario alrededor de la circunferencia unidad (Tristan Needham) | matematicasvisuales

El semiplano a la izquierda del eje imaginario se mapea en el interior del círculo unidad, y el semiplano a la derecha del eje imaginario se mapea al exterior del círculo unidad.

El semiplano a la izquierda del eje imaginario se mapea en el interior del círculo unidad, y el  semiplano a la derecha del eje imaginario se mapea al exterior del círculo unidad | matematicasvisuales

Las imágenes de cuadrados pequeños se asemejan a cuadrados y (en relación con esto) dos rectas que se intersectan se mapean en curvas que se intersectan con el mismo ángulo (Tristan Needham).

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pags. 64-77) - Oxford University Press

MÁS ENLACES

Funciones polinómicas complejas (1): Potencias de exponente natural
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Funciones polinómicas complejas (2): Polinomio de grado 2
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Funciones polinómicas complejas (3): Polinomio de grado 3
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Funciones polinómicas complejas (4): Polinomio de grado n
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Funciones polinómicas complejas (5): Polinomio de grado n (variante)
Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.
Cero y polo
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Inversión
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Inversion: una transformación anticonforme
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Multifunciones: Dos puntos de ramificación
Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
Polinomios de Taylor: función exponencial compleja
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función coseno compleja
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
Exponenciales y Logaritmos (7): La exponencial como inversa del logaritmo
Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
Exponenciales y Logaritmos (1): Funciones exponenciales
Estudiamos varias propiedades de las funciones exponenciales, sus derivadas y una introducción al número e.
Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.