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Ya hemos visto que las funciones cuadráticas reales pueden tener, como mucho, dos raíces o ceros reales.

Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas | matematicasvisuales
Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.

Al considerar una función cuadrática en el plano complejo siempre tiene dos raíces. Es un caso particular del polinomio de grado n que, por el Teorema fundamental del Álgebra, tiene n raíces.

En el applet representamos la función

Al transformar cada punto del plano obtenemos un nuevo punto al que se le asocia un color. De algún modo, estos colores se corresponden con las coordenadas en polares.

En la representación, una familia de curvas puede verse como las curvas de nivel de la superficie modular de la función. Los puntos que están en la misma curva se caracterizan porque el producto de las distancias a los ceros es una constante. Es decir, estas curvas son los óvalos de Cassini y, entre ellos, la lemniscata.

Funciones polinómicas complejas de grado 2: Dos raíces simples, lemniscata y óvalos de Cassini | matematicasVisuales

Estos óvalos fueron estudiados por Cassini y propuestos como posible trayectoria de los planetas antes de que Newton zanjara el asunto. Ya eran conocidos por el matemático griego Perseo (hacia el año 150 a.C.) como secciones de un toro.

Se han refinado los colores próximos a cero para que al acercarnos con la lupa a uno de ellos podamos intuir que el comportamiento de un cero de un polinomio es "como si fuera un cono" y las curvas de nivel son muy próximas a circunferencias.

Podemos mover (despacio) los puntos que representan las dos raíces o ceros. En este función podemos ver que esas raíces son los focos de los óvalos de Cassini.

Funciones polinómicas complejas de grado 2: dos raíces simples | matematicasVisuales

Si las dos raíces coinciden entonces decimos que la raíz es doble.

Funciones polinómicas complejas de grado 2: una raíz doble | matematicasVisuales

En el caso de la raíz doble podemos ver que la sucesión de colores (rojo, amarillo, verde, azul) se repite dos veces alrededor de la raíz.

En la siguiente variante del applet podemos usar una cuadrícula de colores (o cambiar a un código de colores basado en círculos concéntricos). Se pueden mostrar (banda en negro), los puntos que se tranforman en complejos con módulo "próximos" a 1.

Este es un ejemplo cuando el código de colores es una cuadrícula:

Funciones polinómicas complejas de grado 2: código de colores cuadrícula | matematicasVisuales

El mismo polinomio cuando lo representamos con un código en polares:

Funciones polinómicas complejas de grado 2: código de colores en polares | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. Oxford University Press(pag. 60).

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