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Funciones cuadráticas: Parábolas


Ya hemos visto que dos puntos determinan una recta. Como función, su fórmula es un polinomio de grado menor o igual que 1.

Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.

En esta página vamos a estudiar funciones que pasan por tres puntos.

Tres puntos no alineados (y que tengan distintos valores de x) determinan una función polinómica de grado 2 (que también llamamos función cuadrática).

Tiene una expresión del tipo (forma estándar):

La obtención de estas funciones cuadráticas son un caso particular de lo que llamamos Polinomios de Lagrange.

Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Las parábolas son secciones cónicas (al igual que las elipses y las hipérbolas).

Tienen forma de copa, abierta 'hacia arriba' o 'hacia abajo'. Si consideramos valores de x muy grandes en valor absoluto, tanto positivos como negativos resultará que los valores que toma la y también serán grandes y tendrán el mismo signo. Esto es debido a que el exponente de mayor grado es par y depende del signo de su coeficiente, que hemos llamado a.

Si a es positivo la parábola se abre hacia arriba. Si a es negativo la parábola se abre hacia abajo.

INVESTIGA

Marcando la casilla 'Aux' de la aplicación interactiva se puede ver la fórmula cuadrática en la esquina superior izquierda.

Modifica los puntos rojos para mostrar diferentes parábolas y comprobar cómo el signo de a determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

Además, a también nos indica lo 'cerrada' que está la parábola. Cuando mayor es el valor absoluto de a más cerrada resulta la curva.

El punto violeta es importante y se llama foco de la parábola. En esta página no vamos a hablar más del foco aunque tiene mucho interés. Aquí solo nos va a servir para moverlo hacia arriba y hacia abajo. Haciendo esto trasladamos la parábola verticalmente sin cambiar su forma. Notaremos que solo cambia el termino independiente c (el número que 'no lleva x'). Este número recibe a veces el nombre de 'ordenada en el origen' (un poco anticuado) y nos señala dónde la parábola corta al eje vertical. Este punto es el más fácil de calcular: (0,c).



La parábola tiene un punto muy especial. Se trata de 'la cumbre de la montaña' o 'el fondo del valle' dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Se trata de un máximo o de un mínimo de la función

La parábola tendrá un máximo si el coeficiente a es un número negativo y tendrá un mínimo si ese coeficiente es positivo). Este punto se llama vértice de la parábola.

También notamos que la parábola es simétrica respecto de una recta vertical. Esta recta vertical pasa por el vértice y se llama eje de simetría de la parábola. Al final de la página aprenderemos a hallarlos.

Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: eje de la parabola | matematicasVisuales
Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: eje de la parabola | matematicasVisuales


Ahora vamos a estudiar los posibles puntos de corte con el eje de las X. Este asunto está relacionado con la resolución de una ecuación cuadrática.

Algunas parábolas cortan al eje de las X (eje de abcisas) en dos puntos. Esos valores son las raíces (reales) o ceros del polinomio.

Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: una función cuadrática con dos raíces reales | matematicasVisuales

Podemos obtener esas raíces resolviendo una ecuación cuadrática:

Las soluciones de una ecuación cuadrática vienen dadas por:

El discriminante se define como:

Si el discriminante es mayor que 0, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, x1, x2. En este caso, podemos escribir la función cuadrática descompuesta en sus factores de esta manera:

Algunas parábolas solo tocan al eje de abcisas en un solo punto.

Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: Una función cuadrática un una sola raíz real | matematicasVisuales

Esto ocurre cuando el discriminante es igual a cero y la solución de la ecuación cuadrática es:

En este caso decimos que la raíz es una raíz doble. La función cuadrática se factoriza así:

Algunas parábolas no tocan ni cortan al eje de las x. En este caso, el discriminante es menor que cero y la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: una función cuadrática sin raíces reales | matematicasVisuales

Aquí podemos ver más ejemplos de parábolas con dos raíces reales, con una sola raíz doble y sin raíces reales:

Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: parábola con dos raíces reales | matematicasVisuales
Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: parábola con una sola raíz real | matematicasVisuales
Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: parábola sin raíces reales | matematicasVisuales

INVESTIGA

Moviendo el punto violeta trasladamos la parábola arriba y abajo. Si nos fijamos en la fórmula solo cambia le valor del término independiente c. Si partimos de una parábola con dos puntos de corte, al trasladar la parábola arriba y abajo podemos ver como los puntos de corte se alejan o se acercan hasta confundirse en uno solo (raíz doble) o desaparecer (no raíz real).



Para terminar, volvemos al vértice y al eje de simetría de la parábola. El eje de simetría tiene que pasar por el vértice y si la parábola corta al eje de las X en dos puntos el eje tiene que pasar por el medio de esas dos soluciones de la ecuación.

Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: eje de la parabola | matematicasVisuales

La ecuación del eje de simetría de la parábola es:

El vértice de la parábola tiene coordenadas:

Las parábolas son secciones cónicas. Se genera una parábola al cortar un cono por un plano paralelo a una generatriz. Así podemos ver una parábola usando un matraz apoyado sobre una superficie:

Funciones polinómicas. Funciones cuadráticas: parábola como sección cónica | matematicasVisuales


Las funciones cuadráticas con coeficientes reales o complejos tienen siempre dos raíces (reales o complejas)(Teorema fundamental del Álgebra):

Funciones Polinómicas Complejas. Funciones cuadráticas tienen dos raíces | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Michael Spivak, 'Calculus', Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, 'Calculus', Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
I.M. Gelfand, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol, 'Functions and Graphs', Dover Publications, Mineola, N.Y.

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