La función racional

es una función continua. No tiene ninguna singularidad.

Sin embargo, el comportamiento del polinomio de Taylor no es semejante al de otras funciones continuas como la función exponencial o la función seno. Los desarrollos de Taylor de estas funciones convergen en todos los reales.

Aunque no parece claro el motivo, el desarrollo de Taylor se comporta de un modo análogo al de otra función con dos singularidades reales.

El desarrollo de Taylor converge en un intervalo centrado en el centro del desarrollo de Taylor pero no fuera de él.

Este comportamiento parece misterioso. "El misterio se empieza a desvelar cuando consideramos la función compleja

que es idéntica a H(x) cuando z se restringe al eje real del plano complejo." (Tristan Needham)

Está claro que la función tiene dos singularidades complejas en z = i y en z = -i. El desarrollo de Taylor converge en un círculo cuyo radio es la distancia a la singularidad más próxima. Y eso es lo que podemos ver en el caso de la función real: el radio del intervalo de convergencia es la distancia del centro del desarrollo al punto del plano complejo i.

ENLACES

	Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
	Polinomios de Taylor: función racional con 2 singularidades La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
	Polinomios de Taylor: función racional 1 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función racional 2 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función exponencial Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
	Polinomios de Taylor: función seno Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
	Polinomios de Taylor: raíz cuadrada La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.