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Una función cuadrática es una función polinómica de grado 2.

Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.

Estamos interesados en estudiar la derivada de funciones simples con un punto de vista intuitivo y visual. Para estudiar la derivada de una función cuadrática vamos a seguir la misma aproximación que hemos usado para el caso de las funciones afines.

EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función en un punto puede definirse como la tasa de variación instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Podemos definir la pendiente de la función en un punto como la pendiente de la recta tangente.

La pendiente de la tangente depende, en general, de x. Entonces, a partir de una función podemos definir una nueva función, la función derivada de la función original.

El proceso de encontrar la función derivada de una función se llama diferenciación.

El valor de la función dericada para cada valor de x es la pendiente de la función original en x.

Empezamos dibujando la recta tangente a la parábola en un punto.

Polinomios y derivada. Funciones cuadráticas: recta tangente a la parábola en un punto | matematicasVisuales

Pero, ¿cómo podemos dibujar la tangente? Podemos usar una lupa. Si miramos muy cerca del punto de tangencia podemos ver cómo la recta tangente se asemeja a la parábola. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la parábola en ese punto:

Polinomios y derivada. Funciones cuadráticas: la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la parábola en un punto | matematicasVisuales

Podemos dibujar una recta paralela a la tangente pasando por el valor x-1 y obtenemos un triángulo rectángulo. La longitud del lado vertical es la pendiente de la tangente.

Polinomios y derivada. Funciones cuadráticas: drawing the derivative using a parallel line | matematicasVisuales

La función derivada de una función cuadrática es una función afín.

Polinomios y derivada. Funciones cuadráticas: La función derivada de la función cuadrática es una función afín | matematicasVisuales

La derivada de una función cuadrática es:

Fermat ya sabía que en un máximo o mínimo local la tangente es horizontal, la derivada es 0. Podemos ver que en el vértice de la parábola la tangente es horizontal y que la derivada de la función corta al eje de abcisas en ese valor.

Polinomios y derivada. Funciones cuadráticas: el vértice es un mínimo y la tangente es horizontal | matematicasVisuales

Cuando el coeficiente a es un número negativo la parábola se abre hacia abajo y su derivada es una función afín con pendiente negativa.

Polinomios y derivada. Funciones cuadráticas: ejemplo de función cuadrática con derivada con pendiente negativa | matematicasVisuales

En el siguiente caso el vértice es un máximo y, como antes, la tangente es horizontal en ese punto.

Polinomios y derivada. Funciones cuadráticas: el vértice es un máximo y la tangente es horizontal | matematicasVisuales

Una idea simple e interesante es que cuando trasladamos arriba y abajo el gráfico de la función (sumamos o restamos un número a la función original) la función derivada no cambia. La razón es muy intuitiva y podemos jugar con la siguiente versión del mathlet para ver esta propiedad. Cuando movemos el punto violeta trasladamos verticalmente la función y la función derivada no cambia:

Es importante notar que la derivada de un polinomio de grado 1 es una función constante (un polinomio de grado 0). Y que la derivada de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 1.

Cuando derivamos esas funciones polinómicas el resultado es un polinomio de un grado menor que la función original.

Cuando estudiamos la integral de un polinomio de grado 2 veremos que en este caso la nueva función es un polinomio de grado 3. Un grado más que la función original.

Estos resultados están relacionados con el Teorema Fundamental del Cálculo.

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

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