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Análisis real
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Sucesiones y series
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Representación gráfica de progresiones geométricas.
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Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4
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La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.
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La constante de Euler se define como una serie convergente.
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Potencias y polinomios
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Exploramos unas funciones particularmente sencillas.
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Se pueden extiender las funciones potencia con exponentes naturales (y sus inversas) y considerar exponentes racionales.
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Consideando un polinomio de grado 3 con 3 raíces reales podemos ver el efecto de modificar esas raíces.
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Combinando potencias obtenemos polinomios y nos podemos plantear la función polinómica que pasa por unos puntos.
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Integral
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Aproximación al área usando rectángulos.
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Con funciones monótonas se puede obtener cotas sencillas del error de aproximación.
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La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri.
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Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
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Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.
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Exponenciales y logaritmos
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Esta propiedad es la base que nos permite usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
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Una "Mostración" de la propiedad de la integral de la hipérbola que nos permitirá transformar multiplicaciones en sumas.
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Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma.
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El logaritmo natural se define como una integral de la hipérbola equilátera.
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Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
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El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1.
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El número e se puede definir como una integral o como un límite. Ambas definiciones coinciden.
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Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
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Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
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Dos puntos determinan una función exponencial y su derivada es otra exponencial.
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Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.
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Polinomios de Taylor
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Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
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Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
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Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
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La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
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La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
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