Matematicas Visuales |Análisis real

Análisis real
Sucesiones y series
	Progresiones geométricas Representación gráfica de progresiones geométricas.
	Suma de la serie geométrica de razón 1/4 Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4
	Suma de la serie geométrica de razón 1/2 La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.
	Gamma, la constante de Euler La constante de Euler se define como una serie convergente.
Potencias y polinomios
	Potencias con exponentes naturales Exploramos unas funciones particularmente sencillas.
	Potencias con exponentes racionales positivos Se pueden extiender las funciones potencia con exponentes naturales (y sus inversas) y considerar exponentes racionales.
	Polinomio de grado 3 con 3 raíces reales Consideando un polinomio de grado 3 con 3 raíces reales podemos ver el efecto de modificar esas raíces.
	Aproximaciones polinómicas Combinando potencias obtenemos polinomios y nos podemos plantear la función polinómica que pasa por unos puntos.
Integral
	Integral de Riemann Aproximación al área usando rectángulos.
	Acotando la integral Con funciones monótonas se puede obtener cotas sencillas del error de aproximación.
	Integral de potencias La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri.
	El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
	Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.
Exponenciales y logaritmos
	Una propiedad de la integral de la hipérbola Esta propiedad es la base que nos permite usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
	Una propiedad de la integral de la hipérbola \| Mostración Una "Mostración" de la propiedad de la integral de la hipérbola que nos permitirá transformar multiplicaciones en sumas.
	El logaritmo de un producto Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma.
	Definición de logaritmo como una integral El logaritmo natural se define como una integral de la hipérbola equilátera.
	Mercator y Euler: La función logaritmo Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
	Aproximación del número e El número e se puede definir como áquel cuyo logaritmo es 1.
	Dos definiciones del número e El número e se puede definir como una integral o como un límite. Ambas definiciones coinciden.
	La exponencial como inversa del logaritmo Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
	Hipérbolas, logaritmos y exponenciales Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
	Funciones exponenciales Dos puntos determinan una función exponencial y su derivada es otra exponencial.
	Desintegración radioactiva Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.
Polinomios de Taylor
	Polinomios de Taylor: función exponencial Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
	Mercator y Euler: La función logaritmo Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
	Polinomios de Taylor: función seno Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
	Polinomios de Taylor: raíz cuadrada La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función racional 1 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función racional 2 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función racional con 2 singularidades La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
	Polinomios de Taylor: función racional sin singularidades reales La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.