matematicas visuales home | visual math home
Aproximación del número e


Partimos de la definición de función logarítmica como una integral de la hipérbola equilátera. Existe un número cuyo logaritmo es igual a 1. Esta es una de las definiciones del número e.

Logaritmos y exponenciales: Definición del número e como una integral, log(e) = 1 | matematicasVisuales

En el applet podemos ver dos aproximaciones a la función logaritmo. Para hacer estas aproximaciones usamos particiones con un número variable de rectángulos. Usando más y más rectángulos podemos hacer aproximaciones tan precisas como queramos. Las bases de estos rectángulos son todas iguales. Una de estas aproximaciones es por defecto y la otra es por exceso.

¿Cuántos rectángulos necesitamos para estar seguros de que log2 es menor que 1?

Logaritmos y exponenciales: log2 es menor que 1, aproximación por rectángulos | matematicasVisuales

Es fácil ver que log4 es mayor que 1: 3 rectángulos son suficientes.

Logaritmos y exponenciales: log4 mayor que 1, aproximación por rectángulos | matematicasVisuales

Entonces podemos decir que

Logaritmos y exponenciales: el valor del número e está entre 2 y 4 | matematicasVisuales

¿Son suficientes 6 rectángulos para estar seguro de que log3 es mayor que 1?. No. Lo podemos ver usando la lupa.

Pero son suficientes 7 rectángulos para poder afirmarlo. Hay que hacer unas cuentas.

Logaritmos y exponenciales: 7 rectángulos son suficientes para poder afirmar que e está entre 2 y 3 | matematicasVisuales

Entonces podemos decir que

Logaritmos y exponenciales: el valor del número e está entre 2 y 3 | matematicasVisuales

Usando más y más rectángulos obtenemos mejores aproximaciones del valor de la integral y del número e.

Logaritmos y exponenciales: mejores aproximaciones del número e usando más y más rectángulos | matematicasVisuales

El valor del número e es aproximadamente

Logaritmos y exponenciales: valor aproximado del número e | matematicasVisuales

Hay mejores maneras de calcular el valor de e pero éstos son buenos ejercicios para comprender su definición como una integral.

Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.

REFERENCIAS

A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.

MÁS ENLACES

Exponenciales y Logaritmos (1): Funciones exponenciales
Estudiamos varias propiedades de las funciones exponenciales, sus derivadas y una introducción al número e.
Exponenciales y Logaritmos (2): Definición de logaritmo como una integral
Integrando la hipérbola equilátera podemos definir una nueva función que es el logaritmo natural.
Exponenciales y Logaritmos (3): Una propiedad de la integral de la hipérbola
Hemos definido la función logaritmo como una integral de la hipérbola equilátera. Esta integral tiene una importante propiedad que nos permitirá usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
Exponenciales y Logaritmos (7): La exponencial como inversa del logaritmo
Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
Exponenciales y Logaritmos (8): Hipérbolas, logaritmos y exponenciales
Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
Mercator y Euler: La función logaritmo
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Desintegración radioactiva
Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.
Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
Polinomios de Taylor: función exponencial compleja
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
El Teorema Fundamental del Cálculo (1)
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Teorema Fundamental del Cálculo (2)
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Funciones lineales a trozos. El caso más sencillo: un segmento
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Funciones constantes a trozos
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
Funciones continuas lineales a trozos
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
Integral de funciones potencia
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Funciones polinómicas y derivada (5): Antiderivadas
Si la derivada de F(x) es f(x) decimos que F es una antiderivada de f. También decimos que F es una primitiva o una integral indefinida de f.
Integral definida
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Las funciones monótonas son integrables
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Integral indefinida
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.