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La principal propiedad de una función logaritmo es que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.

Exponenciales y logaritmos: el logaritmo de un producto  | matematicasVisuales
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En su libro 'In pursuit of the Unknown', Ian Stewart resume en unas pocas líneas por qué esta ecuación es tan importante:

¿Qué nos dice?

Como multiplicar números haciendo una suma de números relacionados con los factores.

¿Por qué es tan importante?

Sumar es mucho más sencillo que multiplicar.

¿Para qué nos sirve?

Métodos eficientes para calcular fenómenos astronómicos como eclipses y orbitas planetarias. Procedimientos rápidos para realizar cálculos científicos. La regla de cálculo, fiel compañera de los ingenieros. Desintegración radioactiva y la psicofísica de la percepción humana.

(Ian Stewart, p. 22)

La necesidad de un procedimiento que facilitara operaciones largas como multiplicaciones, divisiones o raíces está en el origen de la invención de los logaritmos por Napier.

C.H.Edwards Jr. escribió: "El final del siglo XVI fue una época de cálculos numéricos ya que los desarrollos de la astronomía y la navegación precisaban de una precisión cada vez mayor y más larga de los cálculos trigonométricos (...). La necesidad urgente de algún dispositivo que acortara las laboriosas y tediosa multiplicaciones y divisiones con muchos decimales se resolvió con la invención de los logaritmos por Napier y otros hacia el comienzo del siglo XVII." (pag. 142).

Las primeras tablas de logaritmos las publicó John Napier en 1614. Henry Briggs publicó en 1624 las primeras tablas de logaritmos decimales (en base 10).

Ya sabemos que el logaritmo natural puede definirse como una integral de la hipérbola equilátera:

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Usando una propiedad de la hipérbola podemos probar que:

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Entonces es fácil probar la principal propiedad de los logaritmos:

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[El camino utilizado para probar esta propiedad en estas páginas es visual e intuitivo. Otro modo de probar esta propiedad es usando la regla de la cadena. Esta demostración la podemos ver en muchos libros, por ejemplo, en el de Serge Lang. Después de hacer la demostración, Lang escribe: "¡Por favor, apreciemos la elegancia y eficacia del argumento", p. 177. Por lo tanto, muy recomendable buscar esa otra demostración para ver otro punto de vista.]

REFERENCIAS

A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.
C.H. Edwards, Jr., The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1979.
Ian Stewart, In pursuit of the Unknown, 17 Equations that changed the World, Basic Books, 2012.

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