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Geometría
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Triángulos
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Trisecando los ángulos de un triángulo podemos obtener otro triángulo que siempre es equilátero.
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A partir de cada punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo se obtiene una recta llamada recta de Simson.
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Mostracion de que los tres puntos que determinan cada rectas de Wallace están alineados.
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Steiner probó que la envolvente de las rectas de Simson es una deltoide.
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La construcción de la deltoide de Steiner como hipocicloide está relacionada con la circunferencia de los nueve puntos.
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El triángulo equilátero determinado por la deltoide de Steiner tiene los lados paralelos al triángulo de Morley pero con orientación opuesta.
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Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.
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Circunferencias
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El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.
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Mostración de la propiedad del ángulo capaz.
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Transformaciones del plano
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Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
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Estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas.
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Cuadro en el que, entre otras muchas cosas, podemos ver una anamorfosis de una calavera
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Espirales
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En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
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Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
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Proporción áurea
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Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
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Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
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Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
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La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
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Geometría en el espacio
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El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
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Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado.
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Howard Eves, matemático e historiador de las matemáticas, recibió el premio George Polya por el artículo Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri)
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Queremos estudiar la sorprendente congruencia Cavalieri entre la esfera y un poliedro. En esta página vemos las secciones en la esfera
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Se muestra la esfera y el tetraedro de Howard Eves con sus correspondientes secciones congruentes.
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Un octavo de un dodecaedro regular de arista 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de arista 1.
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Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
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El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
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Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
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El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
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El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
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Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
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Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
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