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Geometría

Triángulo de Morley | matematicasVisuales Rectas de Wallace | matematicasVisuales Rectas de Wallace | Mostración | matematicasVisuales Deltoide de Steiner | matematicasVisuales El deltoide de Steiner es hipocicloide | matematicasVisuales El deltoide y el triángulo de Morley | matematicasVisuales El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicasVisuales
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso I | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso II | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso General | matematicasVisuales Dibujando ángulos de quince grados con regla y compás | matematicasVisuales Rotación dilatativa | matematicasVisuales Durero | matematicasVisuales
Los Embajadores de Holbein el Joven | matematicasVisuales Espiral equiangular | matematicasVisuales Dilatación y giro de la espiral equiangular | matematicasVisuales La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea | matematicasVisuales Dibujo de un pentágono regular con regla y compás | matematicasVisuales La proporción áurea | matematicasVisuales Rectángulo áureo | matematicasVisuales
Rectángulo áureo y rotación dilatativa | matematicasVisuales Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares | matematicasVisuales Espiral áurea | matematicasVisuales Proporción del papel estándar DIN A | matematicasVisuales Ecuación de la elipse | matematicasVisuales La elipse y sus focos | matematicasVisuales Volumen del tetraedro | matematicasVisuales
Secciones en un tetraedro | matematicasVisuales Secciones en el tetraedro de Howard Eves | matematicasVisuales Secciones en una esfera | matematicasVisuales Sorprendente congruencia Cavalieri entre una esfera y un tetraedro | matematicasVisuales El dodecaedro regular | matematicasVisuales Volumen del dodecaedro regular | matematicasVisuales El volumen del octaedro | matematicasVisuales
El icosaedro y su volumen | matematicasVisuales El volumen del octaedro truncado | matematicasVisuales El octaedro truncado tesela el espacio | matematicasVisuales Sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales El octaedro truncado formado por medios cubos | matematicasVisuales El volumen del cuboctaedro | matematicasVisuales El volumen del cuboctaedro (II) | matematicasVisuales
Cuboctaedro estrellado | matematicasVisuales El volumen del octaedro estrellado (stella octangula) | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (4): Cilindros cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide | matematicasVisuales
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (8): Conos truncados por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (1): Introducción | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (2): Desarrollos de cartulina | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (3): Cara a cara con cartulina | matematicasVisuales
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (4): Origami modular | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (5): El rectángulo áureo y el icosaedro | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (6): Tubos | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (7): Zome | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (8): Tensegrity | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza | matematicasVisuales


Triángulos
Triángulo de Morley | matematicasVisuales
Trisecando los ángulos de un triángulo podemos obtener otro triángulo que siempre es equilátero.
Rectas de Wallace | matematicasVisuales
A partir de cada punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo se obtiene una recta llamada recta de Simson.
Rectas de Wallace | Mostración | matematicasVisuales
Mostracion de que los tres puntos que determinan cada rectas de Wallace están alineados.
Deltoide de Steiner | matematicasVisuales
Steiner probó que la envolvente de las rectas de Simson es una deltoide.
El deltoide de Steiner es hipocicloide | matematicasVisuales
La construcción de la deltoide de Steiner como hipocicloide está relacionada con la circunferencia de los nueve puntos.
El deltoide y el triángulo de Morley | matematicasVisuales
El triángulo equilátero determinado por la deltoide de Steiner tiene los lados paralelos al triángulo de Morley pero con orientación opuesta.
El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicasVisuales
Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Circunferencias
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | matematicasVisuales
Teorema del Ängulo central: El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso I | matematicasVisuales
Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso I: Cuando el arco es una semicircunferencia el ángulo inscrito es recto.
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso II | matematicasVisuales
Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso II: Cuando una cuerda de las que forman el ángulo inscrito es un diámetro.
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso General | matematicasVisuales
Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Prueba del caso general.
Dibujando ángulos de quince grados con regla y compás | matematicasVisuales
Usando regla y compás podemos dibujar ángulos de 15 grados. Son ejemplos básicos de las propiedades de los ángulos central e inscrito en una circunferencia.

Transformaciones del plano
Rotación dilatativa | matematicasVisuales
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
Durero | matematicasVisuales
Estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas.
Los Embajadores de Holbein el Joven | matematicasVisuales
Cuadro en el que, entre otras muchas cosas, podemos ver una anamorfosis de una calavera

Espirales
Espiral equiangular | matematicasVisuales
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Dilatación y giro de la espiral equiangular | matematicasVisuales
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.

Proporción áurea
La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea | matematicasVisuales
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás | matematicasVisuales
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
La proporción áurea | matematicasVisuales
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo | matematicasVisuales
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Rectángulo áureo y rotación dilatativa | matematicasVisuales
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares | matematicasVisuales
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
Espiral áurea | matematicasVisuales
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.

Proporciones
Proporción del papel estándar DIN A | matematicasVisuales
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.

Elipses
Ecuación de la elipse | matematicasVisuales
Transformando una circunferencia podemos obtener una elipse (como hizo Arquímedes para calcular su área). A partir de la ecuación de la circunferencia deducimos la de la elipse.
La elipse y sus focos | matematicasVisuales
Una elipse tiene dos focos y la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es una constante.

Geometría en el espacio
Volumen del tetraedro | matematicasVisuales
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Secciones en un tetraedro | matematicasVisuales
Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado. Podemos calcular el área de esas secciones.
Secciones en el tetraedro de Howard Eves | matematicasVisuales
En su artículo 'Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence' (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri), Howard Eves describe un tetraedro muy interesante. En esta página calculamos las áreas de sus secciones y su volumen.
Secciones en una esfera | matematicasVisuales
Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.
Sorprendente congruencia Cavalieri entre una esfera y un tetraedro | matematicasVisuales
El tetraedro de Howard Eves es congruente Cavalieri con una esfera dada. Podemos ver que las secciones correspondientes tienen áreas iguales. Por lo tanto, el volumen de la esfera es el mismo que el volumen del tetraedro. Sabemos calcular el volumen del tetraedro luego ya sabemos el volumen de la esfera (usando una congruencia sorprendente).
El dodecaedro regular | matematicasVisuales
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Volumen del dodecaedro regular | matematicasVisuales
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
El volumen del octaedro | matematicasVisuales
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El icosaedro y su volumen | matematicasVisuales
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
El volumen del octaedro truncado | matematicasVisuales
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro truncado tesela el espacio | matematicasVisuales
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
El octaedro truncado formado por medios cubos | matematicasVisuales
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El volumen del cuboctaedro | matematicasVisuales
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II) | matematicasVisuales
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Cuboctaedro estrellado | matematicasVisuales
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
El volumen del octaedro estrellado (stella octangula) | matematicasVisuales
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.

Desarrollos planos de cuerpos geométricos
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos | matematicasVisuales
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros | matematicasVisuales
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (4): Cilindros cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide | matematicasVisuales
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos | matematicasVisuales
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (8): Conos truncados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Desarrollos planos de conos truncados por un plano oblicuo. La sección es una elipse.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular | matematicasVisuales
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (1): Introducción | matematicasVisuales
Breve introducción a una serie de páginas sobre técnicas sencillas de construcción de poliedros. Un poco de historia.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (2): Desarrollos de cartulina | matematicasVisuales
Dibujar, recortar y pegar desarrollos de poliedros sobre cartulina. Podemos empezar por un cubo y un tetraedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (3): Cara a cara con cartulina | matematicasVisuales
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (4): Origami modular | matematicasVisuales
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (5): El rectángulo áureo y el icosaedro | matematicasVisuales
A partir de tres rectángulos áureos entrelazados podemos construir un icosaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (6): Tubos | matematicasVisuales
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (7): Zome | matematicasVisuales
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (8): Tensegrity | matematicasVisuales
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza | matematicasVisuales
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.