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Geometría

Teorema de Morley | matematicasVisuales Demostración de John Conway del teorema de Morley | matematicasVisuales Rectas de Simson-Wallace | matematicasVisuales Rectas de Wallace-Simson | Demostración | matematicasVisuales Deltoide de Steiner | matematicasVisuales El deltoide de Steiner es hipocicloide | matematicasVisuales El deltoide y el triángulo de Morley | matematicasVisuales
Teorema de Pitágoras: Demostración inspirada en Euclides | matematicasVisuales Teorema de Pitágoras: Demostración dinámica de Baravalle | matematicasVisuales El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso I | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso II | matematicasVisuales Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso General | matematicasVisuales
Dibujando ángulos de quince grados con regla y compás | matematicasVisuales Teorema de Pascal | matematicasVisuales Rotación dilatativa | matematicasVisuales Durero y transformaciones | matematicasVisuales Semejanza: Áreas de triángulos equiláteros. | matematicasVisuales Espiral equiangular | matematicasVisuales Dilatación y giro de la espiral equiangular | matematicasVisuales
Espiral equiangular que pasa por dos puntos | matematicasVisuales La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea | matematicasVisuales Dibujo de un pentágono regular con regla y compás | matematicasVisuales La proporción áurea | matematicasVisuales Rectángulo áureo | matematicasVisuales Rectángulo áureo y rotación dilatativa | matematicasVisuales Espiral áurea | matematicasVisuales
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares | matematicasVisuales Proporción del papel estándar DIN A | matematicasVisuales Ecuación de la elipse | matematicasVisuales La elipse y sus focos | matematicasVisuales Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva | matematicasVisuales Arquímedes y el área de la elipse: demostración | matematicasVisuales Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses | matematicasVisuales
Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses (2) | matematicasVisuales Elipses como secciones de cilindros: Esferas de Dandelin | matematicasVisuales Alberto Durero y las elipses: secciones de un cono. | matematicasVisuales Alberto Durero y las elipses: las elipses tienen dos ejes de simetría. | matematicasVisuales Astroide como envolvente de segmentos y elipses | matematicasVisuales La astroide es una hipocicloide | matematicasVisuales Los sólidos platónicos. | matematicasVisuales
Los sólidos platónicos: dualidad. | matematicasVisuales Exposición: Los sólidos platónicos. | matematicasVisuales Exposición: Los sólidos arquimedianos. | matematicasVisuales Volumen del tetraedro | matematicasVisuales Secciones en un tetraedro | matematicasVisuales Secciones en el tetraedro de Howard Eves | matematicasVisuales Sorprendente congruencia Cavalieri entre una esfera y un tetraedro | matematicasVisuales
El dodecaedro regular | matematicasVisuales Volumen del dodecaedro regular | matematicasVisuales Volúmenes del octaedro y del tetraedro | matematicasVisuales El icosaedro y su volumen | matematicasVisuales El volumen del octaedro truncado | matematicasVisuales El octaedro truncado tesela el espacio | matematicasVisuales Sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales
El octaedro truncado formado por medios cubos | matematicasVisuales El volumen del cuboctaedro | matematicasVisuales El volumen del cuboctaedro (II) | matematicasVisuales Cuboctaedro estrellado | matematicasVisuales El volumen del octaedro estrellado (stella octangula) | matematicasVisuales El tetraedro truncado | matematicasVisuales Truncamientos del cubo y del octaedro | matematicasVisuales
Cubo achaflanado | matematicasVisuales El dodecaedro y el cubo | matematicasVisuales Piritoedro | matematicasVisuales Cinco tetraedros en un dodecaedro. | matematicasVisuales Diez tetraedros en un dodecaedro. | matematicasVisuales Secciones en una esfera | matematicasVisuales La esfera de Campanus y otros poliedros inscritos en una esfera | matematicasVisuales
La Tierra | matematicasVisuales Proyección axial de una esfera sobre un cilindro | matematicasVisuales Dodecaedro rómbico (1): los panales de las abejas | matematicasVisuales Dodecaedro rómbico (2): Un problema de optimización en torno a los panales de las abejas | matematicasVisuales Dodecaedro rómbico (3): cubo con pirámides | matematicasVisuales Dodecaedro rómbico (4): Dodecaedro rómbico formado por un cubo y seis sextos de cubo | matematicasVisuales Dodecaedro rómbico (5): El dodecaedro rómbico es un poliedro que tesela el espacio. | matematicasVisuales
Dodecaedro rómbico (6): Un dodecaedro rómbico plegado dentro de un cubo. | matematicasVisuales Homenaje a Kepler:Las balas de cañón y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales Dodecaedro rómbico (7): El ángulo de Maraldi | matematicasVisuales Densidad del empaquetamiento óptimo de esferas | matematicasVisuales Tetraxis, un puzle diseñado por Jane y John Kostick | matematicasVisuales Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales Pseudo rombicuboctaedro | matematicasVisuales
Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro aumentado para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro aumentado para La Divina Proporción de Luca Pacioli (2) | matematicasVisuales Rombicuboctaedro aumentado | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (4): Cilindros cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos (8): Conos truncados por un plano oblicuo | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Octaedro regular | matematicasVisuales Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular | matematicasVisuales
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Introducción | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: desarrollos en cartulina | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Cara a cara con cartulina | matematicasVisuales Recursos: Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Discos de cartulina | matematicasVisuales Acona Biconbi, diseño de Bruno Munari | matematicasVisuales Construcción de poliedros : El rectángulo áureo y el icosaedro | matematicasVisuales
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Origami modular | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tubos | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tensegrity | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Zome | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014. | matematicasVisuales El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2014-2015. | matematicasVisuales
Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016. | matematicasVisuales El cuboctaedro y el octaedro truncado. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2016-2017 XIII edición. | matematicasVisuales Microarquitectura y poliedros | matematicasVisuales Volúmenes de pirámides, del tetraedro y del octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2017-2018 XIV edición. | matematicasVisuales El icosaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2018-2019 XV edición. | matematicasVisuales El cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2019-2020 XVI edición. | matematicasVisuales Construcciones de un icosaedro dentro de un octaedro. | matematicasVisuales
Homenaje a Kepler:Las balas de cañón y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales El pequeño dodecaedro estrellado. Versión sobre el trabajo de Escher 'Gravity'. | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Impresión 3d: Tetraedro | matematicasVisuales Construcción de poliedros. Impresión 3d: Cubo y octaedro | matematicasVisuales Homenaje a Kepler:Las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales


Triángulos
Teorema de Morley | matematicasVisuales
Los tres puntos de intersección de las trisectrices adyacentes de los ángulos de un triángulo cualquiera son los vértices de un triángulo equilátero (Triángulo de Morley).
Demostración de John Conway del teorema de Morley | matematicasVisuales
Demostración muy bonita y visual de Conway. Podemos jugar con una animación interactiva y ver los diferentes pasos de la demostración.
Rectas de Simson-Wallace | matematicasVisuales
A partir de cada punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo se obtiene una recta llamada recta de Simson-Wallace o recta de Simson.
Rectas de Wallace-Simson | Demostración | matematicasVisuales
Demostración interactiva de que los tres puntos que determinan cada recta de Wallace-Simson están alineados.
Deltoide de Steiner | matematicasVisuales
La envolvente de las rectas de Simson-Wallace de un triángulo es una curva con tres cúspides que se llama Deltoide de Steiner.
El deltoide de Steiner es hipocicloide | matematicasVisuales
La construcción de la deltoide de Steiner como hipocicloide está relacionada con la circunferencia de los nueve puntos.
El deltoide y el triángulo de Morley | matematicasVisuales
El triángulo equilátero determinado por la deltoide de Steiner tiene los lados paralelos al triángulo de Morley pero con orientación opuesta.
Teorema de Pitágoras: Demostración inspirada en Euclides | matematicasVisuales
Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras, inspirada en la de Euclides.
Teorema de Pitágoras: Demostración dinámica de Baravalle | matematicasVisuales
Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras por Hermann Baravalle.
El teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicasVisuales
Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.

Circunferencias
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | matematicasVisuales
Teorema del Ängulo central: El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso I | matematicasVisuales
Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso I: Cuando el arco es una semicircunferencia el ángulo inscrito es recto.
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso II | matematicasVisuales
Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Caso II: Cuando una cuerda de las que forman el ángulo inscrito es un diámetro.
Ángulos central e inscrito en una circunferencia | Demostración | Caso General | matematicasVisuales
Demostración interactiva de la propiedad de los ángulos central e inscrito en una circunferencia. Prueba del caso general.
Dibujando ángulos de quince grados con regla y compás | matematicasVisuales
Usando regla y compás podemos dibujar ángulos de 15 grados. Son ejemplos básicos de las propiedades de los ángulos central e inscrito en una circunferencia.
Teorema de Pascal | matematicasVisuales
Si se inscribe en una circunferencia un hexágono, los puntos de intersección de lados opuestos son colineales.

Transformaciones del plano
Rotación dilatativa | matematicasVisuales
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
Durero y transformaciones | matematicasVisuales
Durero estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas. Algunas de estas transformaciones son afinidades.
Semejanza: Áreas de triángulos equiláteros. | matematicasVisuales
Los triángulos equiláteros son figuras semejantes. Si calculamos el área de un solo triángulo equilátero, por semejanza, sabremos el área de cualquier triángulo equilátero. Repasaremos relaciones entre longitudes y áreas de figuras semejantes aplicadas a este caso particular.

Espirales
Espiral equiangular | matematicasVisuales
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Dilatación y giro de la espiral equiangular | matematicasVisuales
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
Espiral equiangular que pasa por dos puntos | matematicasVisuales
Hay infinitas espirales equiangulares que pasan por dos puntos.

Proporción áurea
La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea | matematicasVisuales
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Dibujo de un pentágono regular con regla y compás | matematicasVisuales
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
La proporción áurea | matematicasVisuales
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo | matematicasVisuales
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Rectángulo áureo y rotación dilatativa | matematicasVisuales
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Espiral áurea | matematicasVisuales
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares | matematicasVisuales
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.

Proporciones
Proporción del papel estándar DIN A | matematicasVisuales
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.

Elipses
Ecuación de la elipse | matematicasVisuales
Transformando una circunferencia podemos obtener una elipse (como hizo Arquímedes para calcular su área). A partir de la ecuación de la circunferencia deducimos la de la elipse.
La elipse y sus focos | matematicasVisuales
Una elipse tiene dos focos y la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos es una constante.
Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva | matematicasVisuales
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.
Arquímedes y el área de la elipse: demostración | matematicasVisuales
En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.
Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses | matematicasVisuales
El elipsógrafo es un aparato mecánico que se usa para dibujar elipses.
Elipsógrafo: un aparato mecánico para dibujar elipses (2) | matematicasVisuales
Si un segmento de longitud fija se mueve de modo que sus extremos están en dos rectas perpendiculares, cualquier punto del segmento traza una elipse.
Elipses como secciones de cilindros: Esferas de Dandelin | matematicasVisuales
La sección de un cilindro por un plano que corta al eje del cilindro en un punto es una elipse. Probamos este resultado usando las esferas de Dandelin.
Alberto Durero y las elipses: secciones de un cono. | matematicasVisuales
Durero fue el primero en publicar en alemán un método para dibujar elipses como secciones de un cono.
Alberto Durero y las elipses: las elipses tienen dos ejes de simetría. | matematicasVisuales
Durero nos mostró un método excelente para dibujar elipses pero cometió un pequeño error. La intuición parece decirnos que la sección de un cono tiene forma de huevo. Podemos probar, usando conceptos básicos, que la elipse tiene dos ejes de simetría.

Más curvas
Astroide como envolvente de segmentos y elipses | matematicasVisuales
La astroide es la envolvente de un segmento de longitud constante cuyos extremos se mueven sobre dos rectas perpendiculares. También es la envolvente de una familia de elipses con la propiedad de que la suma de sus ejes es constante.
La astroide es una hipocicloide | matematicasVisuales
La astroide es un caso particular de una familia de curvas que llamamos hipocicloides.

Geometría en el espacio
Los sólidos platónicos. | matematicasVisuales
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.
Los sólidos platónicos: dualidad. | matematicasVisuales
Estudiamos el concepto de dualidad de poliedros aplicado a los sólidos platónicos. El cubo y el octaedro son duales, el icosaedro y el dodecaedro son duales y el tetraedro decimos que es autodual.
Exposición: Los sólidos platónicos. | matematicasVisuales
Exposición sobre los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Construcción de los poliedros encajados. El Omnipoliedro. Algunas propiedades básicas que se pueden aprender de esta construcción.
Exposición: Los sólidos arquimedianos. | matematicasVisuales
Exposición sobre los sólidos arquimedianos realizados por alumnos de 1ºESO del IES Alonso Quijano de Alcalá de Henares.
Volumen del tetraedro | matematicasVisuales
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Secciones en un tetraedro | matematicasVisuales
Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado. Podemos calcular el área de esas secciones.
Secciones en el tetraedro de Howard Eves | matematicasVisuales
En su artículo 'Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence' (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri), Howard Eves describe un tetraedro muy interesante. En esta página calculamos las áreas de sus secciones y su volumen.
Sorprendente congruencia Cavalieri entre una esfera y un tetraedro | matematicasVisuales
El tetraedro de Howard Eves es congruente Cavalieri con una esfera dada. Podemos ver que las secciones correspondientes tienen áreas iguales. Por lo tanto, el volumen de la esfera es el mismo que el volumen del tetraedro. Sabemos calcular el volumen del tetraedro luego ya sabemos el volumen de la esfera (usando una congruencia sorprendente).
El dodecaedro regular | matematicasVisuales
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Volumen del dodecaedro regular | matematicasVisuales
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Volúmenes del octaedro y del tetraedro | matematicasVisuales
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El icosaedro y su volumen | matematicasVisuales
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
El volumen del octaedro truncado | matematicasVisuales
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El octaedro truncado tesela el espacio | matematicasVisuales
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
El octaedro truncado formado por medios cubos | matematicasVisuales
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El volumen del cuboctaedro | matematicasVisuales
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II) | matematicasVisuales
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Cuboctaedro estrellado | matematicasVisuales
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
El volumen del octaedro estrellado (stella octangula) | matematicasVisuales
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
El tetraedro truncado | matematicasVisuales
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Truncamientos del cubo y del octaedro | matematicasVisuales
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.
Cubo achaflanado | matematicasVisuales
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.
El dodecaedro y el cubo | matematicasVisuales
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Piritoedro | matematicasVisuales
Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.
Cinco tetraedros en un dodecaedro. | matematicasVisuales
Construcción de cinco tetraedros en un dodecaedro con diferentes técnicas: cartulina, origami, tubos, tensegrity. Justificación de esta preciosa construcción.
Diez tetraedros en un dodecaedro. | matematicasVisuales
Se pueden colocar cinco tetraedros en un dodecaedro de dos formas distintas, quirales. La combinación de estos dos poliedros da lugar al compuesto de diez tetraedros en un dodecaedro.

Geometría del espacio: Esfera
Secciones en una esfera | matematicasVisuales
Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.
La esfera de Campanus y otros poliedros inscritos en una esfera | matematicasVisuales
Estudiamos un tipo de poliedros inscritos en una esfera, en particular la llamada esfera de Campanus que fue muy popular durante el Renacimiento y que Luca Pacioli llamó Septuaginta.
La Tierra | matematicasVisuales
Un mapa básico de la Tierra como una esfera. Sistema de Coordenadas Geográfico: Latitud, longitud.
Proyección axial de una esfera sobre un cilindro | matematicasVisuales
Esta proyección tiene la propiedad de preservar el área. El área de la esfera es igual al área lateral del cilindro circunscrito. Conociendo el área de la esfera podemos deducir su volumen, tal como hizo Arquímedes.

Geometría en el espacio: Dodecaedro rómbico
Dodecaedro rómbico (1): los panales de las abejas | matematicasVisuales
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
Dodecaedro rómbico (2): Un problema de optimización en torno a los panales de las abejas | matematicasVisuales
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?
Dodecaedro rómbico (3): cubo con pirámides | matematicasVisuales
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
Dodecaedro rómbico (4): Dodecaedro rómbico formado por un cubo y seis sextos de cubo | matematicasVisuales
Podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo. Este hecho tiene interesantes consecuencias.
Dodecaedro rómbico (5): El dodecaedro rómbico es un poliedro que tesela el espacio. | matematicasVisuales
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.
Dodecaedro rómbico (6): Un dodecaedro rómbico plegado dentro de un cubo. | matematicasVisuales
Una cadena de seis pirámides puede plegarse hacia dentro y formar un cubo y puede plegarse hacia fuera y colocarse sobre otro cubo y formar un dodecaedro rómbico.
Homenaje a Kepler:Las balas de cañón y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.
Dodecaedro rómbico (7): El ángulo de Maraldi | matematicasVisuales
El ángulo obtuso de las caras rómbicas del dodecaedro rómbico se conoce como ángulo de Maraldi. Solo se necesita un poco de trigonometría básica parar calcularlo.
Densidad del empaquetamiento óptimo de esferas | matematicasVisuales
A partir de un conocimiento básico del dodecaedro rómbico se puede calcular rápidamente la densidad del empaquetamiento óptimo de esferas.
Tetraxis, un puzle diseñado por Jane y John Kostick | matematicasVisuales
Tetraxis es un puzle muy interesante, sencillo y bonito, diseñado por Jane y John Kostick. Estudiaremos algunas propiedades de este juego y su relación con el dodecaedro rómbico. Plantillas para construir un Tetraxis con cartulina e imanes. El rompecabezas hecho con impresión 3D.

Geometría en el espacio: Rombicuboctaedro y pseudo rombicuboctaedro
Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.
Pseudo rombicuboctaedro | matematicasVisuales
También llamado girobicúpula cuadrada elongada. Es muy parecido al rombicuboctaedro pero es menos simétrico.
Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro aumentado para La Divina Proporción de Luca Pacioli | matematicasVisuales
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro aumentado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro aumentado para La Divina Proporción de Luca Pacioli (2) | matematicasVisuales
En esta segunda versión del rombicuboctaedro aumentado podemos separar las pirámides y ver el interior de la figura. Luca Pacioli escribió que 'podemos ver el interior solo con nuestra imaginación'. La aplicación interactiva solo nos ayuda a ello.
Rombicuboctaedro aumentado | matematicasVisuales
A partir de un rombicuboctaedro podemos añadir pirámides a sus caras. Obtenemos un precioso poliedro que parece una estrella.

Desarrollos planos de cuerpos geométricos
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos | matematicasVisuales
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros | matematicasVisuales
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (4): Cilindros cortados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
La sección de un cilindro por un plano es una elipse. Estas figuras se llaman segmentos cilíndricos o cilindros truncados y pueden desarrollarse en el plano.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide | matematicasVisuales
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos | matematicasVisuales
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (8): Conos truncados por un plano oblicuo | matematicasVisuales
Desarrollos planos de conos truncados por un plano oblicuo. La sección es una elipse.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular | matematicasVisuales
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Octaedro regular | matematicasVisuales
El primer dibujo del desarrollo plano del octaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular | matematicasVisuales
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Introducción | matematicasVisuales
Breve introducción a una serie de páginas sobre técnicas sencillas de construcción de poliedros. Un poco de historia.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: desarrollos en cartulina | matematicasVisuales
Podemos dibujar los desarrollos planos en cartulina y construir poliedros uniendo solapas con pegamento.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Cara a cara con cartulina | matematicasVisuales
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.
Recursos: Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas | matematicasVisuales
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Discos de cartulina | matematicasVisuales
Técnica simple para construir poliedros pegando discos de cartulina.
Acona Biconbi, diseño de Bruno Munari | matematicasVisuales
El diseñador italiano Bruno Munari pensó 'Acona Biconbi' como un trabajo de escultura. También es un juego de construcción con el que podemos jugar con colores y formas.
Construcción de poliedros : El rectángulo áureo y el icosaedro | matematicasVisuales
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Origami modular | matematicasVisuales
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tubos | matematicasVisuales
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tensegrity | matematicasVisuales
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Zome | matematicasVisuales
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza | matematicasVisuales
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014. | matematicasVisuales
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2014-2015. | matematicasVisuales
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016. | matematicasVisuales
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
El cuboctaedro y el octaedro truncado. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2016-2017 XIII edición. | matematicasVisuales
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 21 de Octubre de 2016). Con plantillas para descargar y construir varias figuras geométricas.
Microarquitectura y poliedros | matematicasVisuales
Microarquitectura es un juego de construcción desarrollado por Sara San Gregorio. Podemos jugar con él y construir muchas estructuras inspiradas en poliedros.
Volúmenes de pirámides, del tetraedro y del octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2017-2018 XIV edición. | matematicasVisuales
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 20 de Octubre de 2017). El objetivo principal es disfrutar con las Matemáticas y fomentar la construcción de poliedros por su valor estético y también porque nos facilitan la comprensión de resultados matemáticos.
El icosaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2018-2019 XV edición. | matematicasVisuales
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 19 de Octubre de 2018). Diferentes construcciones del icosaedro nos ayudan a comprender sus propiedades. El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros.
El cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2019-2020 XVI edición. | matematicasVisuales
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 18 de Octubre de 2019). El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros, en esta ocasión construiremos una cajita que es un dodecaedro rómbico. Estudiaremos la relación de este poliedro con el cubo, el octaedro y el cuboctaedro.
Construcciones de un icosaedro dentro de un octaedro. | matematicasVisuales
Un icosaedro se puede poner dentro de un octaedro de modo que sus 12 vértices estén en las 12 aristas del octaedro. Dos construcciones nos ayudan a comprender esta relación y, gracias a ella, calcularemos el volumen del icosaedro.
Homenaje a Kepler:Las balas de cañón y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.
El pequeño dodecaedro estrellado. Versión sobre el trabajo de Escher 'Gravity'. | matematicasVisuales
Construcción de un pequeño dodecaedro estrellado como metáfora del confinamiento que estamos viviendo por la pandemia del coronavirus COVID-19.

Construcción de poliedros. Impresión 3d
Construcción de poliedros. Impresión 3d: Tetraedro | matematicasVisuales
Construcción del tetraedro con impresión 3d. El tetraedro es un poliedro autodual. El centro del tetraedro.
Construcción de poliedros. Impresión 3d: Cubo y octaedro | matematicasVisuales
Construcción del cubo y del octaedro con impresión 3D. El cubo y el octaedro son poliedros duales.
Homenaje a Kepler:Las abejas y el dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.