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Homenaje a Kepler: las balas de cañón y el dodecaedro rómbico

Ya hemos comentado que Kepler concibe el dodecaedro rómbico desde diferentes puntos de vista. Cada uno de ellos nos aporta una visión complementaria del poliedro.

Homenaje a Kepler:Las abejas y el dodecaedro rómbico
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.

Kepler establece una sorprendente relación entre este poliedro y el problema de apilamiento óptimo de balas de cañon.

El origen de la cuestión de cómo apilar balas de cañón en las cubiertas de los barcos proviene de una carta que le envía a Kepler el astrónomo y matemático inglés Thomas Harriot. Harriot era amigo de Sir Walter Raleigh y, por lo tanto, la cuestión pretende responder un problema práctico.

Este asunto le lleva a Kepler a investigar empaquetamientos óptimos de esferas y a enunciar lo que concemos como "Conjetura de Kepler".

Esto nos llevaría por otros derroteros pero lo que queremos destacar aquí es la relación que establece entre el apilamiento de balas y el dodecaedro rómbico.

Para Kepler, el empaquetamiento óptimo consiste en rodear cada bala por otras seis en un capa. En las siguientes capas se trata de colocar balas en los huecos que resultan. Esta es una explicación muy básica.

Pero entonces entra en acción la imaginación y creatividad de Kepler quién afirma que si comprimiéramos de un modo homogéneo esa estructura de balas y las balas se deformaran se formarían dodecaedros rómbicos.

Esto hay que verlo, pensé yo. Y me propuse intentar reproducir este experimento. Resultó ser espectacular y sencillo.

Para empezar preparo 13 bolas de arcilla iguales.

Homenaje a Kepler: dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

En la primera capa pondremos una bola en el centro y seis alrededor. En los huecos pondremos tres bolas más encima y tres debajo.

Homenaje a Kepler: dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
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Resulta esta estructura.

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Estamos viendo que esto que estamos haciendo tiene mucho que ver con el dodecaedro rómbico que Kepler concibe a partir de los panales de la abejas.

Kepler se fija en la base de las celdas de las abejas. Allí hay tres rombos que se corresponden con las tres bolas de debajo.

Después hay seis rombos que los vemos apoyados sobre las seis caras de la celda hexagonal. Se corresponden con las seis bolas de la capa central que rodean a una bola.

El poliedro se cierra con otros tres rombos como los de la base de la celda. Son las últimas tres bolas.

Tenemos, por lo tanto, doce bolas ordenadas de este modo y que rodean a una bola central.

Queremos presionar el conjunto. Para evitar que se peguen pongo aceite con ayuda de un pincel.

Homenaje a Kepler: dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Se presiona poco a poco:

Homenaje a Kepler: dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Homenaje a Kepler: dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Sin especial esfuerzo se ha formado una bola que nos muestra doce rombos:

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Si la abrimos, vemos que la bola central se ha deformado en un dodecaedro rómbico:

Homenaje a Kepler: dodecaedro rómbico | matematicasVisuales
Homenaje a Kepler: dodecaedro rómbico | matematicasVisuales

Así queda la bola central. Se ha formado un dodecaedro rómbico bastante perfecto.

Un experimento sencillo y efectivo para mostrar, una vez más, que Kepler tenía razón.

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REFERENCIAS

Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en 'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010. Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
Johannes Kepler - 'Regalo de año nuevo, sobre el copo de nieve hexagonal;Strena seu de nive sexangula'. Introducción, traducción al castellano, ilustraciones y notas, Ana García Azcárate y Ángel Requena Fraile. Editorial Avinareta.

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