Sabemos que el dodecaedro rómbico es un poliedro que está relacionado con los panales de las abejas. La base de las celdas (que Kepler llamó la quilla)
está formada por tres rombos. Kepler sabía que con doce de esos rombos se podía construir un poliedro. A ese poliedro lo llamamos dodecaedro rómbico.
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?
En esta página consideramos un punto de vista diferente.
Una manera de obtener nuevos poliedros es partir de un poliedro conocido y añadir pirámides en cada una de sus caras.
Es una técnica bien conocida. Por ejemplo, Luca Pacioli estudió varios de estos poliedros en su libro "De Divine Proportione" (publicado en torno a 1500).
Si partimos de un cubo y le añadimos seis pirámides obtenemos un poliedro que solemos llamar "cubo aumentado". Pacioli escribió sobre este poliedro que él
llamó "exacedron elevatus":
"[El hexaedro elevado sólido o hueco] está compuesto por seis pirámides laterales cuadriláteras exteriores, que se ofrecen a nuestra vista según la situación
del cuerpo. En cuanto al cubo interior sobre el que se apoyan dichas pirámides, y que sólo puede ser imaginado por el intelecto pues se oculta a nuestra vista
por la superposición de dichas pirámides, sus seis superficies cuadradas son bases de las mencionadas seis pirámides, que son todas de la misma altura, y se
ocultan a la vista y circundan a dicho cubo."
('La divina proporción' de Luca Pacioli, página 92, traducción al castellano por Juan Calatrava, Editorial Akal, cuarta edition, 2008)
Los dibujos para este libro fueron realizados por su amigo Leonardo da Vinci:
Jugando con la transparencia nosotros podemos ver el cubo que hay en el interior:
También podemos separar las pirámides:
Un hecho interesante es que, para unas determinadas pirámides, podemos hacer que estas veinticuatro caras triangulares se transformen en doce rombos pues los planos de
caras adyacentes coinciden. Obtenemos un nuevo poliedro que es el dodecaedro rómbico.
Vamos a calcular la diagonal D de uno de esos rombos:
Resulta que estos rombos son los mismos que obtuvimos cuando estudiábamos los panales de las abejas.
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?
Si consideramos que el cubo tiene arista 1, la arista del dodecaedro rómbico es:
Estos rombos están relacionados con las proporciones del tamaño estándar del papel DinA.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
Podemos usar trigonometría para calcular los ángulos de uno de estos rombos:
Johannes Kepler fue el primer matemático que escribió sobre el dodecaedro rómbico. El siguiente dibujo está tomado de su libro "Harmonices Mundi":
Algunos cristales de granate tiene la forma de un dodecaedro rómbico:
REFERENCIAS
Johannes Kepler - 'Strena seu De Nive Sexangula' ('Regalo de Año nuevo. Sobre el copo de nieve hexagonal', Traducción y notas de
Ana García Azcárate y Ángel Requena Fraile. Editorial Aviraneta, 2011. Este libro se puede descargar gratuitamente gracias a la generosidad
de sus autores a través del excelente sitio web de Ángel Requena 'Turismo Matemático' en su sección
Turismo Matemático. Libros descargables.
Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en
'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010.
Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y
Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial
Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
W. Hope-Jones, 'The Rhombic Dodecahedron for the Young', The Mathematical Gazette, 1936.
Colin Maclaurin, 'On the Bases of the Cells wherein the Bees deposite their Honey', 1743.
D'Arcy Thompson, 'On Growth And Form' - Cambridge University Press, 1942.
L. Fejes Tóth, 'What the bees know and what they do not know', Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964). In
Project Euclid
D. Wallo, V. Duris, L. Rumanova, 'Geometry of bee cells rediscovered', The Electronic Journal of Mathematics and Technology.
Hermann Weil, 'Symmetry', pp. 83-92, Princeton University Press, 1952.
MÁS ENLACES
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
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El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
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Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
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