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El volumen del Cuboctaedro


El cuboctaedro es un sólido arquimediano. Sus caras son cuadrados y triángulos equiláteros. Obtenemos un cuboctaedro partiendo de un cubo y truncando sus vértices (por la mitad de cada arista). También se obtiene un cuboctaedro truncando un octaedro. El cubo y el octaedro son poliedros duales.

El cuboctaedro está formado por 6 cuadrados (uno por cada cara del cubo) y 8 triángulos equiláteros (uno por cada vértice del cubo).

Vamos a calcular el volumen del cuboctaedro de lado 1 a partir del volumen del cubo.

Si el cuboctaedro tiene arista 1, el cubo que lo contiene es:

Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro en un cubo| matematicasvisuales

El volumen de este cubo es:

El cuboctaedro se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. Para calcular su volumen tenemos que restar del volumen del cubo el volumen de las esquinas truncadas.

El volumen de cada una de las 8 esquinas es:

Volumen del cuboctaedro: el volumen de cada esquina que truncamos| matematicasvisuales

Ahora ya podemos calcular el volumen del cuboctaedro (lo que restamos al cubo, las 8 pirámides, pueden formar un octaedro de arista 1)

Volumen del cuboctaedro: Se obtiene restando del volumen del cubo el volumen de un octaedro de arista 1| matematicasvisuales
Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro | matematicasvisuales

Entonces el volumen del cuboctaedro de arista a es:

Vamos a ver otra propiedad interesante del cuboctaedro. Si pensamos que este cubo está formado por ocho cubos más pequeños (que tienen en común el vértice en el centro del cubo grande) podemos ver que la distancia desde el centro del cuboctaedro (su centro de gravedad) hasta cualquier vértice es la longitud de la arista (pues es igual a la diagonal de una cara de un cubo de los pequeños).

Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro en un cubo para ver que la distancia de cada vértice al centro es la misma que la longitud de cada arista| matematicasvisuales

Entonces un cuboctaedro está formado por seis medios octaedros y ocho tetraedros. Todas estas pirámides tienen un vértice en el centro de gravedad del cuboctaedro. Así tenemos un tercer método para calcular el volumen del cuboctaedro.

El cuboctaedro es la única configuración espacial con esta propiedad, que la longitud de cada arista sea la misma distancia desde su centro de gravedad a cada vértice.

Además, sus 24 aristas forman cuatro hexágonos cuyo centro es el centro de gravedad del cuboctaedro.

En este cuboctaedro de origami (papiroflexia), ¿puedes ver uno de los hexágonos en un plano paralelo a la base?

Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro origami siguiendo instrucciones de Tomoko Fusè 'Unit Origami', un hexágono| matematicasvisuales
Volumen del cuboctaedro: Cuboctaedro origami siguiendo instrucciones de Tomoko Fusè 'Unit Origami'| matematicasvisuales
Hice este cuboctaedro (origami, papiroflexia) siguiendo las instrucciones del libro de Tomoko Fusè 'Unit Origami' (Japan Publications, Inc. 1990)

¿Puedes ver en este esqueleto del cuboctaedro los cuatro hexágonos?

Volumen del cuboctaedro: Esqueleto de cuboctaedro para ver los cuatro hexágonos| matematicasvisuales
Volumen del cuboctaedro: Otro esqueleto de cuboctaedro para ver los cuatro hexágonos| matematicasvisuales

Los vértices de este bonito modelo de origami modular, la Omega Star, son los vértices de un cuboctaedro:

Cuboctaedro: Omega Star, origami modular, los vértices de la Omega Star son vértices de un cuboctaedro | matematicasvisuales

Una propiedad intereante del cuboctaedro es que la distancia desde el centro del sólido a cada vértices es igual a la longitud de los lados:

Cuboctaedro: construcción de un cuboctaedro con Zome | matematicasvisuales
Cuboctaedro: la distancia del centro a cada vértices es la longitud de los lados, con Zome | matematicasvisuales
Cuboctaedro: la distancia del centro a cada vértices es la longitud de los lados, con tubos de aluminio | matematicasvisuales

Cuboctaedro: un cuboctaedro en Rothenburg ob der Tauber (Alemania) | matematicasvisuales
Un cuboctaedro en una pared en Rothenburg ob der Tauber (Alemania, 2013)
Un cuboctaedro en una puerta de la Schottenkirche St. Jakob (Iglesia de Santiago) en Regensburg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Un cuboctaedro en una puerta de la Schottenkirche St. Jakob (Iglesia de Santiago) en Regensburg (Alemania, RCR 2014)

Cuboctaedros en la Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014).

En la Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg podemos ver representaciones de varios científicos de la Antigüedad:

Cuboctaedro: Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
Cuboctaedro: Pitágoras in Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Pitágoras en Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
Cuboctaedro: Euclides in Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Euclides en Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)
Cuboctaedro: Ptolemeo in Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014) | matematicasvisuales
Ptolomeo en Schöner Brunnen (La Fuente Bonita) en Nuremberg (Alemania, 2014, RCR)

En El Escorial (cerca de Madrid) hay una serie de paneles, pienso que no del todo bien conocidos y muy interesantes. En ellos hay varios poliedros (cuboctaedro, icosidodecaedro y más). Estos paneles están hechos en marquetería (taracea, "intarsia"). Cromwell hace referncia a estos trabajos: "Hay también algunos ejemplos de poliedros en el palacio real de El Escorial en las afueras de Madrid. El palacio fue erigido por Felipe II (1527-1598), de quien se dice que destacó en Matemáticas cuando estudiaba siendo príncipe. Las puertas de la sala del trono fueron un regalo de su suegro, Maximiliano II. Fueron realizados por un artesano alemán. Estos paneles de marquetería contienen algunos elementos típicos (laúdes, libros) y algunos poliedros". (Cromwell, p. 117)

El Escorial: marquetería con varios poliedros | matematicasvisuales
El Escorial: marquetería con varios poliedros | matematicasvisuales
El Escorial: marquetería con varios poliedros: cuboctaedro | matematicasvisuales
El Escorial: marquetería con varios poliedros: cuboctaedro | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Podemos leer algunas páginas de este libro en Google Books (en inglés): Mathematical Snapshots.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Mª Paz Aguiló, La ebanistería alemana en el Monasterio de El Escorial.

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