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El tetraedro es la más regular de las pirámides y su volumen se puede calcular usando una conocida fórmula: El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura. Así podemos calcular su volumen.

Pero vamos a ver una construcción (que ya nos enseñó Kepler) que nos va a facilitar la tarea. Esta construcción consiste en poner un tetraedro dentro de un cubo.

Uniendo adecuadamente dos diagonales de dos caras opuestas de un cubo obtenemos un tetraedro.

Volumen de un tetraedro: Tetraedro y Kepler | Cuboctahedron and Rhombic Dodecahedron | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: tetraedro en un cubo | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales

Queremos comprobar que el volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene.

Volumen del tetraedro: the volume of the tetrahedron is one third of the cube that contains it | matematicasVisuales

Si la arista del tetraedro es 1 entonces la arista w del cubo es:

El volumen del cubo de diagonal 1 lo podemos escribir (en función de su arista)

Volumen de un tetraedro: volumen de un cubo de diagonal 1 | matematicasVisuales

Podemos calcular ese volumen

Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales

El cubo está compuesto por el tetraedro amarillo y dos pares de pirámides verdes.

La base de dos pirámides juntas es la base del cubo. Entonces el volumen de estas dos pirámides (aplicando la fórmula de un tercio del área de la base por la altura) es un tercio del volumen del cubo.

Volumen de un tetraedro: El volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene | matematicasVisuales

Dos tercios del volumen del cubo está ocupado por las pirámides verdes. Entonces al tetraedro amarillo le queda el tercio restante.

Por lo tanto, el volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene.

El volumen del tetraedro del arista 1 es:

Entonces, el volumen del tetraedro regular de arista a es:



Esta construcción puede generalizarse para cualquier paralelepípedo y obtenemos "tetraedros" no regulares.



Volumen de un tetraedro: Tetraedro no regular a partir de un paralelepípedo | matematicasVisuales

El volumen de estos tetraedros es también un tercio del volumen del paralelepípedo que los contiene.

Podemos construir un tetraedro con origami modular y una cajita cúbica de cartulina para ponerlo dentro:

Construcción de poliedros: cajita cúbica y tetraedro hecho con origami modular | matematicasVisuales
Construcción de poliedros: cajita cúbica y tetraedro hecho con origami modular | matematicasVisuales
Construcción de poliedros: cajita cúbica y tetraedro hecho con origami modular | matematicasVisuales

Este es el modelo de la caja cúbica que se pueden descargar. El rectángulo es el tamaño de papel que necesitamos para el plegado de un tetraedro que cabe perfectamente en la caja:

Construcción de poliedros: cajita cúbica y tetraedro hecho con origami modular | matematicasVisuales

Más ejemplos de origami modular en Construcción de poliedros, técnicas sencillas: Origami modular

Un envase tetraédrico como los que fueron usados para horchata o leche y ahora se usan para azucar y otros productos es sencillo de hacer:

Cuatro bolas en los vértices de un tetraedro:

Volumen de un tetraedro: tetraedro con cuatro bolas | matematicasVisuales

En Rothenburg ob der Tauber (Alemania):

Volumen de un tetraedro: tetraedro en Rothenburg (Alemania) | matematicasVisuales

Tensegrity (tensegridad):

Volumen de un tetraedro: Tensegrity tensegridad | matematicasVisuales

Más ejemplos de tensegridad en Construcción de poliedros, técnicas sencillas: Tensegridad (Tensegrity)

Octaedros en un tetraedro con origami modular:

Volumen de un tetraedro: origami, octaedros en un tetraedro | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: origami, octaedros en un tetraedro | matematicasVisuales

Cinco tetraedros en un dodecaedro usando diferentes técnicas de construcción de poliedros:

Volumen de un tetraedro: cinco tetraedros en un dodecaedro | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: cinco tetraedros en un dodecaedro | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: cinco tetraedros en un dodecaedro | matematicasVisuales
Volumen de un tetraedro: cinco tetraedros en un dodecaedro | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Podemos leer algunas páginas de este libro en Google Books (en inglés): Mathematical Snapshots.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

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