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Construcciones de poliedros. Técnicas sencillas
4.- Origami modular

Origami es lo mismo que papiroflexia. Papiroflexia u origami modular es una técnica que consiste en plegar con papel varios módulos o unidades que, al unirlas (sin pegamento) formarán una figura compleja. En internet hay muchísimos información sobre muchos modelos, en particular, se puede empezar por Origami Resource Center. También en Youtube se pueden ver vídeos.

4.1- Octaedro con tres planos

Una figura sencilla e instructiva está formada por los tres cuadrados en planos ortogonales dos a dos que contienen las 8 aristas del octaedro regular.

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un octaedro:

El volumen del octaedro | matematicasvisuales
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.

4.2- Tetraedro

Podemos construir este tetraedro con dos módulos:

Construcción poliedros| origami modular: tetraedro | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

Los dos primeros dobleces se muestran en la siguiente imagen. ¿Podemos justificar que el doblez es medio triángulo equilátero?

Construcción poliedros| origami modular, construcción tetraedro | matematicasVisuales

Estos son los pasos para construir el tetraedro. Los pendientes son un regalo de la profesora Inmaculada Ordóñez Ríos que colabora en el sitio web Matematicas Interactivas y Manipulativas y que fue quién me enseñó esta figura.

4.3- Otros ejemplos con origami modular

Un cuboctaedro:

Construcción poliedros| origami modular: cuboctaedro | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un cuboctaedro:

El volumen del cuboctaedro | matematicasvisuales
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.

Otro cuboctaedro (más difícil de construir):

Construcción poliedros| origami modular: cuboctaedro con tarjetas | matematicasVisuales

El tetraedro es dual de un tetraedro (y su relación con la Stella Octangula, nombre que da Kepler a este cuerpo):

El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
A tetrahedron is the dual polyhedron of another tetrahedron | matematicasvisuales

Cuboctaedro:

El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
Resurces: Contrucción de poliedros | origami modular: cuboctaedro | matematicasVisuales
Resurces: Contrucción de poliedros | origami modular:  Contrucción de poliedros | origami modular: cuboctaedro | matematicasVisuales

Los vértices de este bonito modelo de origami modular, la Omega Star, son vertices de un cuboctaedro:

Los vértices de la Omega Star son vértices de un cuboctaedro | matematicasvisuales

Más ejemplos: otro octaedro, el esqueleto de un dodecaedro y cinco tetraedros en un dodecaedro, una de las figuras más espectaculares:

Octaedros en un tetraedro:

Construcción poliedros| origami: octaedros en un tetraedro | matematicasVisuales
Construcción poliedros| origami: octaedros en un tetraedro  | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Hay muchos sitios en internet sobre origami (y también vídeos). Un ejemplo es el Origami Resource Center.
Para el precioso modelo de los cinco tetraedros, una referencia es: Construcción de 5 tetraedros en un dodecaedro (Tomas Hull)

ENLACES

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (5): El rectángulo áureo y el icosaedro
A partir de tres rectángulos áureos entrelazados podemos construir un icosaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (6): Tubos
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (7): Zome
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (8): Tensegrity
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (1): Introducción
Breve introducción a una serie de páginas sobre técnicas sencillas de construcción de poliedros. Un poco de historia.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (2): Desarrollos de cartulina
Dibujar, recortar y pegar desarrollos de poliedros sobre cartulina. Podemos empezar por un cubo y un tetraedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas (3): Cara a cara con cartulina
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo
Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
Sección hexagonal de un cubo
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
El volumen del octaedro truncado
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
El volumen del octaedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (2): Prismas cortados por un plano oblicuo
Prismas con base regular o irregular cortados por un plano no paralelo a la base y sus desarrollos planos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (6): Pirámides truncadas por un plano oblicuo
Desarrollos planos de pirámides truncadas por un plano oblicuo.