matematicas visuales home | visual math home
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Origami modular

Origami es lo mismo que papiroflexia. Papiroflexia u origami modular es una técnica que consiste en plegar con papel varios módulos o unidades que, al unirlas (sin pegamento) formarán una figura compleja. En internet hay muchísimos información sobre muchos modelos, en particular, se puede empezar por Origami Resource Center. También en Youtube se pueden ver vídeos.

Tetraedro
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

Construcción de poliedros con origami modular | modular origami: tetrahedron  | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

Los dos primeros dobleces se muestran en la siguiente imagen. ¿Podemos justificar que el doblez es medio triángulo equilátero?

Construcción poliedros| origami modular, construcción tetraedro | matematicasVisuales

Podemos construir este tetraedro con dos módulos:

Construcción poliedros| origami modular: tetraedro | matematicasVisuales

Estos son los pasos para construir el tetraedro. Los pendientes son un regalo de la profesora Inmaculada Ordóñez Ríos que colabora en el sitio web Matematicas Interactivas y Manipulativas y que fue quién me enseñó esta figura.

Construcción poliedros| pendientes tetraedros origami | matematicasVisuales
Octaedro y tetraedro
Volúmenes del octaedro y del tetraedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Construcción de poliedros con origami modular | modular origami: octahedra inside a tetrahedron | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con origami modular | modular origami: octahedra inside a tetrahedron | matematicasVisuales

Una figura sencilla e instructiva está formada por los tres cuadrados en planos ortogonales dos a dos que contienen las 8 aristas del octaedro regular.

El dual del tetraedro es otro tetraedro
Construcción de poliedros con origami modular: el dual de un tetraedro es otro tetraedro | matematicasvisuales
El volumen del octaedro estrellado (stella octangula)
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
Cuboctaedro
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
Construcción de poliedros con origami modular: cubocathedron | matematicasVisuales

Otro cuboctaedro (más difícil de construir):

Construcción de poliedros con origami modular: cuboctahedron | matematicasVisuales

Los vértices de este modelo de origami modular son los vértices de un cuboctaedro. Se llama Omega Star y es sencilla de construir:

Construcción de poliedros con origami modular: Omega Star, modular origami model. Its vertices are the vertices of a cuboctahedron | matematicasvisuales
Otros ejemplos con origami modular

REFERENCIAS

Hay muchos sitios en internet sobre origami (y también vídeos). Un ejemplo es el Origami Resource Center.
Para el precioso modelo de los cinco tetraedros, una referencia es: Construcción de 5 tetraedros en un dodecaedro (Tomas Hull)
George Hart es una referencia para todos los aficionados a la construcción de poliedros.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: desarrollos en cartulina
Podemos dibujar los desarrollos planos en cartulina y construir poliedros uniendo solapas con pegamento.
Recursos: Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Cara a cara con cartulina
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Discos de cartulina
Técnica simple para construir poliedros pegando discos de cartulina.
Acona Biconbi, diseño de Bruno Munari
El diseñador italiano Bruno Munari pensó 'Acona Biconbi' como un trabajo de escultura. También es un juego de construcción con el que podemos jugar con colores y formas.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tensegrity
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Cinco tetraedros en un dodecaedro.
Construcción de cinco tetraedros en un dodecaedro con diferentes técnicas: cartulina, origami, tubos, tensegrity. Justificación de esta preciosa construcción.
Exposición: Los sólidos platónicos.
Exposición sobre los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Construcción de los poliedros encajados. El Omnipoliedro. Algunas propiedades básicas que se pueden aprender de esta construcción.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2014-2015.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
Llenando el espacio con una escultura matemática. El Octaedro truncado. Día Internacional de las Matemáticas 2023. Taller de Talento Matemático de Aragón, España.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 10 de marzo de 2023). Con plantillas para descargar y construir varias figuras geométricas.
Volúmenes de pirámides, del tetraedro y del octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2017-2018 XIV edición.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 20 de Octubre de 2017). El objetivo principal es disfrutar con las Matemáticas y fomentar la construcción de poliedros por su valor estético y también porque nos facilitan la comprensión de resultados matemáticos.
El icosaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2018-2019 XV edición.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 19 de Octubre de 2018). Diferentes construcciones del icosaedro nos ayudan a comprender sus propiedades. El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros.
El cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Taller de Talento Matemático de Zaragoza, España. Curso 2019-2020 XVI edición.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 18 de Octubre de 2019). El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros, en esta ocasión construiremos una cajita que es un dodecaedro rómbico. Estudiaremos la relación de este poliedro con el cubo, el octaedro y el cuboctaedro.
Homenaje a Kepler:Las abejas y el dodecaedro rómbico
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.
Construcciones de un icosaedro dentro de un octaedro.
Un icosaedro se puede poner dentro de un octaedro de modo que sus 12 vértices estén en las 12 aristas del octaedro. Dos construcciones nos ayudan a comprender esta relación y, gracias a ella, calcularemos el volumen del icosaedro.
El pequeño dodecaedro estrellado. Versión sobre el trabajo de Escher 'Gravity'.
Construcción de un pequeño dodecaedro estrellado como metáfora del confinamiento que estamos viviendo por la pandemia del coronavirus COVID-19.
Microarquitectura y poliedros
Microarquitectura es un juego de construcción desarrollado por Sara San Gregorio. Podemos jugar con él y construir muchas estructuras inspiradas en poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Zome
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Volúmenes del octaedro y del tetraedro
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (1): Prismas y sus desarrollos planos
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (5): Pirámides y troncos de pirámide
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.