matematicas visuales home | visual math home
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Desarrollos de poliedros en cartulina

La cartulina de colores es un material muy indicado para construir poliedros. La primera técnica consiste en dibujar el desarrollo plano del poliedro, recortarlo y pegarlo.

Algunos trucos cuando trabajamos con cartulina son: para marcar bien las aristas conviene usar una tijera abierta y una regla. Usar un pegamento transparente. Cuando nos quede alguna arista mal pegada podemos usar un triangulo de cartulina con pegamento para poner pegamento dentro de la arista. Algunas veces, la última solapa se resiste y hay que usar un alfiler para ponerla en su sitio.

Cubo y tetraedro

Los desarrollos del tetraedro y del cubo son los más sencillos de dibujar. Si el cubo tiene 10 cm. de arista, ¿cuál es la arista del tetraedro?

Construcción poliedros| tetraedro y cubo | matematicasVisuales

Esta construcción ya fue dibujada por Kepler y nos va a ayudar a calcular el volumen de un tetraedro de un modo sencillo:

Construcción poliedros| tetraedro en cubo según Kepler | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un tetraedro de arista 1:

Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

La primera vez que me encontré con un tetraedro por la calle fue cuando la gaseosería que había enfrente de mi casa empezó a vender horchata en un nuevo envase de papel parecido al de la siguiente figura. Este invento lo había hecho Erik Wallenberg, un ingeniero sueco y lo había desarrollado la empresa TetraPack. Viendo las imágenes te puedes imaginar como se fabricaba.

Sección hexagonal de un cubo

Se puede cortar un cubo por la mitad de modo que la sección sea un hexágono regular.

Construcción poliedros| medio cubo, sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales
Sección hexagonal de un cubo
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
Resources, How to build polyhedra with cardboard (Plane Nets): Download, print, cut and build medio cubo, sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales
Desarrollo del medio cubo para descargar, imprimir, recortar y montar

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de medio cubo sabiendo que la arista del hexágono es 1:

Ocho de estos medios cubos pueden formar un octaedro truncado, un poliedro que tesela el espacio (al igual que el cubo)

El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Desarrollo del dodecaedro

Construir un dodecaedro dibujando su desarrollo es una actividad muy recomendable y satisfactoria pues es un poliedro muy bonito y que es más difícil de dibujar que el resto de los sólidos platónicos (formados por cuadrados y triángulos equiláteros).

Este es el desarrollo del dodecaedro según Durero:

Construcción poliedros| Desarrollo del dodecaedro según Durero  | matematicasVisuales

Kepler también se interesó por el dodecaedro:

Construcción poliedros| Dodecaedo según Kepler | matematicasVisuales
Rompecabezas: construye un tetraedro
Resources, How to build polyhedra with cardboard (Plane Nets): Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Rompecabezas tetraedro | matematicasVisuales

Con esas dos piezas se tiene que construir un tetraedro.

Quizás no lo parezca a primera vista, pero cada pieza esta formada por dos tetraedros y medio octaedro. Volveremos a esta idea más adelante.

REFERENCIAS

Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Carlos A. Furuti: Desarrollos de poliedros con mapas del mundo. Muchos desarrollos con proyecciones cartograficas. Una combinación muy buena.
Gijs Korthals Altes: Modelos de poliedros en cartulina para descargar, recortar y pegar.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition (p. 197)
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961 (p. 87).
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Cara a cara con cartulina
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.
Construcción de poliedros : El rectángulo áureo y el icosaedro
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Origami modular
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tensegrity
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tubos
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Zome
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Taller de Talento Matemático de Zaragoza
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
Construcción de poliedros. Cuboctaedro y dodecaedro rómbico: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2013-2014.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
El cubo, el octaedro, el tetraedro y otros poliedros: Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2014-2015.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Poliedros duales: el cubo y el octaedro. Taller de Talento Matemático de Zaragoza. Curso 2015-2016.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (3): Cilindros
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos (7): Conos y troncos de conos
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.