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Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Desarrollos de poliedros en cartulina

La cartulina de colores es un material muy indicado para construir poliedros. La primera técnica consiste en dibujar el desarrollo plano del poliedro, recortarlo y pegarlo.

Algunos trucos cuando trabajamos con cartulina son: para marcar bien las aristas conviene usar una tijera abierta y una regla. Usar un pegamento transparente. Cuando nos quede alguna arista mal pegada podemos usar un triangulo de cartulina con pegamento para poner pegamento dentro de la arista. Algunas veces, la última solapa se resiste y hay que usar un alfiler para ponerla en su sitio.

Cubo y tetraedro

Los desarrollos del tetraedro y del cubo son los más sencillos de dibujar. Si el cubo tiene 10 cm. de arista, ¿cuál es la arista del tetraedro?

Construcción poliedros| tetraedro y cubo | matematicasVisuales

Esta construcción ya fue dibujada por Kepler y nos va a ayudar a calcular el volumen de un tetraedro de un modo sencillo:

Construcción poliedros| tetraedro en cubo según Kepler | matematicasVisuales

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de un tetraedro de arista 1:

Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.

La primera vez que me encontré con un tetraedro por la calle fue cuando la gaseosería que había enfrente de mi casa empezó a vender horchata en un nuevo envase de papel parecido al de la siguiente figura. Este invento lo había hecho Erik Wallenberg, un ingeniero sueco y lo había desarrollado la empresa TetraPack. Viendo las imágenes te puedes imaginar como se fabricaba.

Sección hexagonal de un cubo

Se puede cortar un cubo por la mitad de modo que la sección sea un hexágono regular.

Construcción poliedros| medio cubo, sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales
Sección hexagonal de un cubo
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
Resources, How to build polyhedra with cardboard (Plane Nets): Download, print, cut and build medio cubo, sección hexagonal de un cubo | matematicasVisuales
Desarrollo del medio cubo para descargar, imprimir, recortar y montar

PARA PENSAR UN POCO

A partir de esta construcción podemos calcular el volumen de medio cubo sabiendo que la arista del hexágono es 1:

Ocho de estos medios cubos pueden formar un octaedro truncado, un poliedro que tesela el espacio (al igual que el cubo)

El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Desarrollo del dodecaedro

Construir un dodecaedro dibujando su desarrollo es una actividad muy recomendable y satisfactoria pues es un poliedro muy bonito y que es más difícil de dibujar que el resto de los sólidos platónicos (formados por cuadrados y triángulos equiláteros).

Este es el desarrollo del dodecaedro según Durero:

Construcción poliedros| Desarrollo del dodecaedro según Durero  | matematicasVisuales

Kepler también se interesó por el dodecaedro:

Construcción poliedros| Dodecaedo según Kepler | matematicasVisuales
Rompecabezas: construye un tetraedro
Resources, How to build polyhedra with cardboard (Plane Nets): Download, print, cut and build | matematicasVisuales
Construcción poliedros| Rompecabezas tetraedro | matematicasVisuales

Con esas dos piezas se tiene que construir un tetraedro.

Quizás no lo parezca a primera vista, pero cada pieza esta formada por dos tetraedros y medio octaedro. Volveremos a esta idea más adelante.

REFERENCIAS

Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Carlos A. Furuti: Desarrollos de poliedros con mapas del mundo. Muchos desarrollos con proyecciones cartograficas. Una combinación muy buena.
Gijs Korthals Altes: Modelos de poliedros en cartulina para descargar, recortar y pegar.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition (p. 197)
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961 (p. 87).
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

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Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
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