Construcción de poliedros. Técnicas sencillas
Zome System
Zome System es una herramienta maravillosa para construir poliedros.
La sección áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Octaedro e icosaedro
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Necesitaremos las piezas verdes para construir este el icosaedro dentro del octaedro usando Zome: .
Los vértices el icosaedro dividen en la razón áurea a los lados del octaedro.
Dodecaedro
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
El dodecaedro y el icosaedro son poliedros duales
Cinco tetraedros dentro de un dodecaedro
Cubo dentro de un dodecaedro
El volumen del dodecaedro
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Vamos a usar Zome para calcular el volumen de un dodecaedro.
Así se puede construir medio dodecaedro y vamos a considerar que la arista es de 2 (la pieza azul mediana es la unidad):
Si nos fijamos en un octavo de dodecaedro de arista 2. El volumen de este octavo es igual al volumen del dodecaedro de arista 1. Vemos que está formado por un cubo y en tres de sus caras hay una cuña y una pirámide.
El volumen será el volumen del cubo más tres pirámides más tres cuñas.
Así podemos ver como esta construcción nos ayuda a calcular un volumen que no es tan sencillo de calcular de otra manera.
Cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
Mas poliedros con Zome
REFERENCIAS
George Hart es una referencia para todos los aficionados a la construcción
de poliedros.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial
Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
MÁS ENLACES
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