El rectángulo áureo es una proporción relacionada con la espiral áurea y con el dodecaedro.

En esta página vamos a estudiar la relación de la proporción áurea con el icosaedro.

Podemos poner tres rectángulos áureos y hacer una construcción bien conocida. Estos rectángulos tienen doce vértices. La distancia entre dos vértices adyacentes es igual al lado corto de cada uno de los rectángulos áureos. Entonces, estos doce puntos coinciden con los doce vértices de un icosaedro.

Un icosaedro tiene veinte triángulos equiláteros. En nuestro caso, la longitud de cada arista es 2.

El área de una de esos veinte triángulos equiláteros que tiene un icosaedro de lado 2 es:

El volumen de un icosaedro de lado 1 es un octavo del volumen de un icosaedro de lado 2.

El volumen de un icosaedro de lado 1 es el mismo que el volumen de dos y media pirámides. Tenemos que calcular la altura de una de esas pirámides, es decir, la distancia entre el centro y una de las caras triangulares.

Hay dos triángulos semejantes y podemos escribir la proporción:

Entonces el volumen de una pirámide es:

Y en volumen de un icosaedro de lado 1 es:

Si las veinte aristas de un octaedro se dividen en proporción áurea (en un orden adecuado), estos puntos son los vértices de un icosaedro. En esta imagen podemos ver un icosaedro, un octaedro y un tetraedro uno dentro del otro.

Podemos construir la estructura de un icosaedro usando seis palos y seis gomas elásticas. Es uno de los ejemplos más sencillos de "tensegrity".

ENLACES

	La proporción áurea A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
	Rectángulo áureo Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
	Espiral áurea La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
	El dodecaedro regular Un octavo de un dodecaedro regular de arista 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de arista 1.
	Volumen del dodecaedro regular Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
	Volumen del tetraedro El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
	El volumen del octaedro El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.