matematicas visuales home | visual math home
Espiral equiangular. Rotación

Coxeter escribió sobre la espiral equiangular (o espiral logarítmica):

"Descartes fue el primero que reconoció esta curva. Jacob Bernouilli (1654 - 1705) la encontró tan fascinante que dió instrucciones para que la grabaran en la lápida de su tumba, con la inscripción

Eadem mutata resurgo

Estas palabras ("Aunque cambiada, surgiré igual") expresan uns consecuencia notable de la manera en la que la curva se puede desplazar sobre sí misma mediante una rotación dilatativa: cualquier dilatación tiene sobre ella el mismo efecto que una rotación, y viceversa. " (Coxeter)

Coxeter hace referencia a Steinhaus quién describe esta propiedad como una ilusión óptica: "Si giramos el libro alrededor del vértice, la espiral parece crecer más grande o más pequeña. Dos espirales que tienen el mismo ángulo con el radio constante son congruentes." (Steinhaus). Steinhaus relaciona la espirales logarítmicas con caminos de persecución.

Dilatation and rotation of an Equiangular Spiral: Using position vectors you can change the spiral | matematicasVisuales
Moviendo los puntos cambiamos el vector posición y la dirección de la tangente.
Dilatation and rotation of an Equiangular Spiral: another example | matematicasVisuales
Otro ejemplo de espiral equiangular.

REFERENCIAS

Coxeter - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa. (pag. 155)
Steinhaus - Instantáneas matemáticas. Ed. Salvat (pag. 132).
D'Arcy Thompson - On Growth and Form. (Cambridge University Press)

MÁS ENLACES

Rotación dilatativa
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
Rectángulo áureo y dos espirales equiangulares
Dos espirales equiangulares contienen los vértices de rectángulos áureos.
Espiral áurea
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Rectángulo áureo y rotación dilatativa
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
El dodecaedro regular
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
Durero y transformaciones
Durero estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas. Algunas de estas transformaciones son afinidades.
El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Multiplicando dos números complejos
Se puede ver como una rotación dilatativa.