Rectángulo áureo
Un rectángulo se puede descomponer en dos piezas: un cuadrado con el lado menor y otro rectángulo.
Para una determinada proporción de los lados del rectángulo inicial, por ese procedimiento obtenemos un rectángulo semejante al anterior.
Entonces hablamos de proporción áurea y de rectángulo áureo.
Si partimos de un rectángulo áureo podemos considerar que el procedimiento de descomponerlo en un cuadrado y en otro rectángulo áureo lo podemos repetir indefinidamente.
La animación nos muestra esa división de un rectángulo áureo y podemos imaginar cómo el proceso puede considerarse infinito.
Podemos ver las 4 rectas, ortogonales dos a dos, que contienen todos los vértices de esos infinitos rectángulos. Cada uno de estos pares de rectas son las bisectrices del otro par.
La proporción áurea se puede expresar como que es la proporción entre dos segmentos de modo que "el grande es al pequeño como el pequeño es a la diferencia".
Con lo que obtenemos el número dorado
El proceso infinito nos sugiere los lados de un rectángulo áureo son inconmensurables o, de otro modo, que el número dorado es irracional.
Puesto que el lado de un pentágono y su diagonal están en proporción áurea y el pentágono y el pentagrama fueron los símbolos de los pitagóricos cabe la posibilidad de que se conociera que la diagonal de un pentágono y su lado son inconmensurables. Siendo éstos los primeros inconmensurables conocidos. Sin embargo, la primera demostración de la inconmensurabilidad de dos segmentos de la que tenemos constancia corresponde al lado y diagonal de un cuadrado (Euclides).
REFERENCIAS
ENLACES
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La proporción áurea
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
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Rectángulo áureo y rotación dilatativa
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
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Espiral áurea
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
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El dodecaedro regular
Un octavo de un dodecaedro regular de arista 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de arista 1.
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El icosaedro y su volumen
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
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Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
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Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
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Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
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Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula) para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
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