A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Si partimos de un rectángulo áureo el procedimiento se puede repetir indefinidamente.
La proporción áurea puede expresarse de esta manera: Un segmento se dice que está dividido en su
razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor.
(Euclides)
Así podemos obtener el número áureo
El hecho de que el proceso de obtención de rectángulos áureos es infinito sugiere que el número áureo es inconmensurable, es decir,
que el número áureo es irracional.
Puesto que el lado de un pentágono regular y su diagonal están en proporción áurea y el pentágono y el pentagrama fueron
los símbolos de los pitagóricos cabe la posibilidad de que se conociera que la diagonal de un pentágono y su lado son
inconmensurables. Siendo éstos los primeros inconmensurables conocidos. Sin embargo, la primera demostración
de la inconmensurabilidad de dos segmentos de la que tenemos constancia
corresponde al lado y diagonal de un cuadrado (Euclides).
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Podemos ver que el rectángulo ABDF y el rectángulo CDFH son semejantes y que CDFH se ha rotado un cuarto de vuelta.
Entonces
Llamaremos O al punto de intersección.
Ahora podemos considerar la recta OC:
Puesto que
Entonces OC biseca el ángulo recto BOD
Análogamente
O está en la recta CG. Lo mismo para AE y entonces
Estas cuatro rectas, perpendiculares a pares, contienen todos los vértices de todos los infinitos rectángulos áureos.
Cada pareja es la bisectriz de la otra pareja de rectas
REFERENCIAS
Coxeter H. S. M. - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 195)
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Durero estudió transformaciones aplicadas a figuras para, por ejemplo, modificar caras y generar otras caras o caricaturas. Algunas de estas transformaciones son afinidades.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
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