"Con respecto a los problemas en los que interviene un origen (o 'polo') fijo O, se suele encontrar que es conveniente determinar un punto P por medio de sus coordenadas polares
donde 
es la distancia
OP y
es el ángulo que la dirección
OP hace con una recta inicial dada, OX, que se puede identificar con el eje x de las coordenadas cartesianas rectangulares.
Por supuesto, el punto
es igual a
para todo entero n
"
(Coxeter, p.141)
Usamos las coordenadas polares para describir muchas curvas. Por ejemplo, las espirales. Son convenientes para describir isometrías y semejanzas que tienen un punto invariante. Las podemos usar en trigonometría para definir el seno y el coseno de árgulos obtusos y mayores. Las coordenadas polares también están relacionadas con los números complejos.
Coxeter introduce la espiral equiangular (o espiral logarítmica) como resultado de una rotación delatativa continua (Coxeter, p. 155).
La ecuación polar de una espiral equiangular es:
Recibe el nombre de equiangular porque el ángulo entre el radio vector y la recta tangente en cualquier punto de la espiral es constante.
Si 
es el ángulo entre el vector posición
OP y la tangente en P entonces (en general, en coordenadas polares)
En el caso de la espiral equiangular, podemos escribir
Calculando la derivada
Por lo tanto, la cotangente del ángulo es una constante.
Es decir que el ángulo entre el vector posición OP y la tangente en P es una constante y podemos escribir la ecuación de la espiral equiangular así:
Jacobo Bernouilli la llamó "spiral mirabilis".
En el siguiente applet podemos jugar con un caso particular: la espiral equiangular áurea. Esta espiral está relacionada con el rectángulo áureo.
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