El rectángulo áureo y dos espirales equiangulares
Ya hemos visto que una serie de puntos de la construcción de rectángulos áureos están en una espiral equiangular.
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Esta segunda espiral áurea está relacionada con la espiral inicial por una homotecia.
En la siguiente animación podemos ver la dilatación que transforma una espiral en la otra.
Además, esta segunda espiral áurea es congruente por una rotación con la espiral áurea inicial.
En la siguiente animación podemos ver la rotación que transforma una espiral en la otra.
REFERENCIAS
Coxeter H. S. M. - Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa(pag. 196).
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Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
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La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
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La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
Podemos dibujar un pentágono regular dado uno de sus lados construyendo la razón áurea con regla y compás.
En su libro 'Underweysung der Messung' Durero dibujó un pentágono no regular con regla y compás con apertura fija. Es una construcción simple y una muy buena aproximación de un pentágono regular.
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
Con tres rectángulos áureos podemos construir un icosaedro.
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Algunas propiedades de este sólido platónico y su relación con la razón áurea. Construcción de dodecaedros (y otros poliedros relacionados) usando diferentes técnicas.
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Descomponiendo adecuadamente un dodecaedro podemos obtener fácilmente su volumen.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.