Partiendo de un rectángulo áureo podemos cortar un cuadrado y obtenemos un rectángulo
áureo más pequeño. Podemos repetir el proceso y obtenemos esta construcción:
Trazando un arco de circunferencia en cada cuadrado se forma una espiral áurea que pasa por unos
vértices de los rectángulos áureos.
Estos vértices también pertenecen a una espiral equiangular
Al estudiar el
rectángulo áureo y rotación dilatativa también nos podemos encontrar con
esa espiral.
La espiral áurea, formada por arcos de circunferencia, aproxima a la espiral auténtica y es fácil de dibujar.
La espiral equiangular no es tangente a los lados de los cuadrados, sino que los corta.
Dibujando ambas espirales y usando la lupa veremos cómo la espiral equiangular corta a los lados de los cuadrados.
Con el applet activo, al pulsar el botón derecho y arrastrar podemos mover toda la figura.
También podemos ver (con dos animaciones distintas) la rotación dilatativa que lleva un rectángulo áureo en el siguiente.
En este caso, en sentido creciente.
Espiral áurea en un mueble diseñado y hecho por Roberto Cardil en madera de pino.
MÁS ENLACES
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'.
A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea.
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
Cualquier dilatación de una espiral equiangular tiene el mismo efecto que una rotación.
La espiral áurea se contruye a partir de rectángulos áureos y es una aproximación simple a una espiral equiangular.
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
Un octavo de un dodecaedro regular de arista 2 tiene el mismo volumen que un dodecaedro de arista 1.
Los veinte vértices de un icosaedro están en tres rectángulos áureos. A partir de esta propiedad podemos calcular el volumen del icosaedro.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
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