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El dodecaedro


Leonardo da Vinci dibujó dos dodecaedros para el libro de Luca Pacioli 'La Divina Proporción'.

Dodecaedro: Leonardo da Vinci's dodecahedron drawing in Pacioli's book 'The Divine Proportione' | matematicasVisuales

Kepler también estuvo interesado en este cuerpo geométrico. Por ejemplo, podemos ver este dibujo en su libro 'Harmonices Mundi - La harmonía del mundo (1619)'. (Podemos leer el libro original en Posner Memorial Collection):

Dodecaedro: dibujo de un dodecaedro en el libro de Kepler 'Hamonices Mundi - La harmonía del mundo' | matematicasVisuales

En el libro de Durero 'Underweysung der Messung' el autor publicó el primer desarrollo plano de un dodecaedro regular (y de varios poliedros más).

Un dodecaedro regular es un poliedro platónico que tiene 12 caras que son pentágonos regulares. Hay una profunda relación entre el dodecaedro y la proporción áurea.

Los puntos de coordenadas:

Dodecaedro: vértices | matematicasVisuales

Son los 20 vértices de un dodecaedro regular de arista 2.

Donde es la razón áurea que hemos podido ver en el rectángulo áureo.

Podemos calcular la distancia entre pares de vértices adyacentes para convencernos por nosotros mismos.

Podemos construir este poliedro usando Zome:

Dodecaedro: poliedro construído con Zome | matematicasVisuales
Dodecaedro: modelo con Zome | matematicasVisuales

Kepler nos mostró cómo se puede poner un cubo dentro de un dodecaedro regular:

Dodecaedro: dibujo de Kepler de un cubo dentro de un dodecaedro | matematicasVisuales

Podemos inscribir un cubo en un dodecaedro de modo que cada lado del cubo está en una cara del dodecaedro uniendo dos vértices alternos de la cara, como una diagonal del pentágono. (Ball and Coxeter, p. 131)

Dodecaedro: un cubo dentro de un dodecaedro hecho con Zome | matematicasVisuales

Un dodecaedro regular se puede inscribir en una esfera. Para calcular el radio de esa esfera podemos pensar que es el centro de uno de los cubos que se pueden poner dentro del dodecaedro. Estos cubos tienen arista que es phi (el número áureo) si el dodecaedro tiene arista 1. También podemos razónar con estas figuras hechas con Zome. Entonces

Dodecaedro: radio de la esfera circunscrita, modelo hecho con Zome | matematicasVisuales
Dodecaedro: radio de la esfera circunscrita, modelo hecho con Zome  | matematicasVisuales
Dodecaedro: radio de la esfera circunscrita, modelo hecho con Zome | matematicasVisuales

Para calcular el volumen de un dodecaedro podemos tener en cuenta que el volumen de un dodecaedro de lado 1 es un octavo del volumen del dodecaedro de arista 2. Puede ser interesante fijarse en esta figura:

Dodecaedro: el volumen de un dodecaedro de lado 1 es un octavo del volumen del  dodecaedro de arista 2 | matematicasVisuales

Con la ayuda de Zome Zome estudiaremos el volumen de un dodecaedro regular.

Origami: construcción de un dodecaedro con módulo PHiZZ de Tom Hull.

Dodecaedro: origami, modulo PHizz de Tom Hull | matematicasVisuales

Origami: construcción de un dodecaedro con el módulo penultimate (puede aprender sobre el módulo penultimate):

Dodecaedro: origami, módulo penultimate | matematicasVisuales

El dodecaedro y el icosaedro son poliedros duales.

Dodecaedro: dualidad entre el dodecaedro y el icosaedro, modelo Zome | matematicasVisuales

Podemos construir un dodecaedro y un icosaedro con los lados correspondientes perpendiculares, bisecándose uno a otro. Entonces, la parte común es un icosidodecaedro. (Ball and Coxeter, 136)

Dodecaedro: dualidad entre el dodecaedro y el icosaedro, modelo Zome | matematicasVisuales
Dodecaedro: Icosidodecaedro, modelo hecho con cartulina y gomas elásticas | matematicasVisuales

Si quieres ver cómo construir poliedros y descargar plantillas puedes ir a Construcciones de poliedros. Técnicas sencillas. Cartulina: cara a cara.

El Icosidedocaedro tiene 20 caras triangulares y 12 pentagonales. Es un juguete para una mascota matemática:

Dodecaedro: Icosidodecaedro, un juguete para mascota | matematicasVisuales

Los vértices del dodecaedro (20) y los vértices del icosaedro (12) son los vértices de un triacontaedro rómbico:

Dodecaedro: dualidad entre el dodecaedro y el icosaedro, el triacontaedro rómbico, modelo Zome | matematicasVisuales

El triacontaedro y el icosidodecaedro son poliedros duales, del mismo modo que lo son el dodecaedro y el icosaedro.

Una construcción muy bonita e interesante es el compuesto de 5 tetraedros en un dodecaedro.

Dodecaedro: cinco tetraedros en un dodecaedro, modelo hecho con cartulina de colores | matematicasVisuales

Puedes ver varias técnicas distintas de construcción de esta figura en el siguiente enlace:

Cinco tetraedros en un dodecaedro.
Construcción de cinco tetraedros en un dodecaedro con diferentes técnicas: cartulina, origami, tubos, tensegrity. Justificación de esta preciosa construcción.

Más modelos basados en un dodecaedro, un gran dodecaedro, un poliedro Kepler-Poinsot:

Dodecaedro: gran dodecaedro, poliedro Kepler-Poinsot, modelo de cartulinas de colores | matematicasVisuales

REFERENCIAS

W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999 (p. 121)
Origami: dodecahedron with the Tom Hull's PHiZZ module.
Origami: Penultimate module.
Kepler, 'Hamonices Mundi - The Harmony of the World', (1619) (Read the original book at Posner Memorial Collection).

MÁS ENLACES

Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Dodecaedro regular
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
El dodecaedro y el cubo
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Cinco tetraedros en un dodecaedro.
Construcción de cinco tetraedros en un dodecaedro con diferentes técnicas: cartulina, origami, tubos, tensegrity. Justificación de esta preciosa construcción.
Construcción de poliedros. Técnicas sencillas: Tensegrity
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Piritoedro
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Aproximación de Durero de un pentágono regular
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El icosaedro y su volumen
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La proporción áurea
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Rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se puede descomponer en un cuadrado y otro rectángulo áureo.
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Un rectángulo áureo se descompone en un cuadrado y otro rectángulo áureo. Estos rectángulos están relacionados por una rotación dilatativa.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
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Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
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El volumen del tetraedro es un tercio del paralelepípedo que lo contiene.
Desarrollos planos de cuerpos geométricos: Tetraedro regular
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