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Construir y tocar modelos de octaedro es una experiencia más interesante de lo que parece a primera vista.

Podemos usar cartulina y partir del desarrollo del octaedro (formado por ocho triángulos equiláteros):

Octaedro: construcción usando cartulina | matematicasvisuales

También lo podemos hacer con papiroflexia (construcción muy básica de origami modular). Esta construcción nos muestra que los seis vértices de este poliedro están en tres cuadrados que se encuentran en tres planos ortogonales:

Octaedro: construcción con papiroflexia, origami modular | matematicasvisuales
Octaedro: construcción con papiroflexia, origami modular | matematicasvisuales

Podemos usar doce tubos de plástico o aluminio:

Octaedro: construcción con tubos | matematicasvisuales

Una figura de origami modular sencilla e instructiva está formada por los tres cuadrados en planos ortogonales dos a dos que contienen las 12 aristas y los 6 vértices del octaedro regular.

Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami | matematicasVisuales

Su construcción es simple y aquí podemos ver cómo se hace:

El objetivo es, además, construir una cubo para poder poner dentro el octaedro que hemos hecho con papiroflexia.

Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami dentro de un cubo | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami dentro de un cubo | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami dentro de un cubo | matematicasVisuales
Taller Talento Matemático Zaragoza: octaedro origami dentro de un cubo | matematicasVisuales


Manipulando un octaedro enseguida vemos que está formado por dos pirámides de base cuadrada.

Octaedro: un octaedro formado por dos pirámides de base cuadrada | matematicasvisuales

También vemos que la altura de estas dos pirámides es una diagonal de un cuadrado.

Octaedro: diagonal de un octaedro | matematicasvisuales
Octaedro: construcción con tubos de plástico | matematicasvisuales
Octaedro: la altura es una diagonal de un cuadrado | matematicasvisuales

La diagonal de un cuadrado de lado 1 es:

Por lo tanto, el volumen de un octaedro de lado 1 es (la fórmula del volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura):

El volumen de un octaedro de arista a es:

Esta página contiene una animación interactiva desarrollada en Flash.

Si no puedes verla, en el siguiente enlace puedes ver un vídeo sobre ella:

En casa: Cálculo del volumen de un tetraedro (2).
Añadiendo cuatro tetraedros a un octaedro podemos obtener un tetraedro. Calculamos el volumen de un tetraedro a partir del volumen de un octaedro y usando semejanza.

Podemos calcular ahora el volumen de un tetraedro. Empezamos considerando un tetraedro de arista 2:

Octaedro: Un tetraedro de arista 2 está formado por 4 tetraedros de arista 1 y un octaedro | matematicasvisuales
Octaedro: Un tetraedro de arista 2 está formado por 4 tetraedros de arista 1 y un octaedro | matematicasvisuales

Podemos escribir la relación (volumen de figuras semejantes):

Volumen de un tetraedro | matematicasvisuales

Un tetraedro de arista 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de arista 1:

Octaedro: Un tetraedro de arista 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de arista 1 | matematicasvisuales
Un tetraedro de arista 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de arista 1 | matematicasvisuales
A formula that relates the volume of a tetrahedron and a octahedron | matematicasvisuales
Octaedro: Un tetraedro de arista 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de arista 1 | matematicasvisuales
Octaedro: Un tetraedro de arista 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de arista 1 | matematicasvisuales

Por lo tanto, el volumen de un octaedro es cuatro veces el volumen de un tetraedro y podemos recalcular el volumen de un tetraedro.

Origami: octaedro y tetraedro.

Octaedro: origami, octaedros en un tetraedro | matematicasVisuales
Octaedro: origami, octaedros en un tetraedro | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Podemos leer algunas páginas de este libro en Google Books (en inglés): Mathematical Snapshots.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

MÁS ENLACES

En casa: Cálculo del volumen de un tetraedro (2).
Añadiendo cuatro tetraedros a un octaedro podemos obtener un tetraedro. Calculamos el volumen de un tetraedro a partir del volumen de un octaedro y usando semejanza.
En casa: Cálculo del volumen de un tetraedro (1).
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