La construcción de un octaedro con origami nos sugiere el siguiente cálculo del volumen de un octaedro.
Construcción de un octaedro con ocho cuadrados de papel. Los seis vértices del octaedro están en 3 cuadrados.
Ahora calcularemos la altura, la distancia entre dos vértices.
Manipulando un octaedro enseguida vemos que está formado por dos pirámides de base cuadrada.
También vemos que la altura de estas dos pirámides es una diagonal de un cuadrado.
La diagonal de un cuadrado de lado 1 es (y aquí necesitamos el Teorema de Pitágoras):
Si recordamos la fórmula del volumen de una pirámide podremos calcular el volumen del octaedro
(la fórmula del volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura).
Calcularemos el volumen de las dos pirámides a la vez.
La altura de las dos va a ser la diagonal que hemos calculado.
La base es un cuadrado de lado 1, el cuadrado común a las dos pirámides.
Por lo tanto, el volumen de un octaedro de lado 1 es :
Para calcular el volumen de un octaedro de arista a, es decir, el volumen de un octaedro en general, aplicamos la noción de
semejanza: todos los octaedros regulares tienen la misma forma.
El volumen de un octaedro de arista a es:
Fíjate como la arista "sale al cubo". Si una figura semejante tiene el doble de arista que otra su volumen está multiplicado por
dos al cubo, es decir, es ocho veces el de la figura pequeña.
Esta aplicación de la semejanza a los volúmenes conviene tenerla siempre presente pues nos facilita mucho los cálculos.
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