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La figura formada cortando un cilindro circular infinito con dos planos se llama segmento cilíndrico o cilindro truncado. El caso más simple es cuando uno de los planos corta al cilindro perpendicularmente al eje. Entonces el segmento cilíndrico tiene una base circular. Este es el caso que vamos a estudiar aquí.

En esta página vamos a ver cómo un cilindro truncado se puede desarrollar en un plano.

Cilindro truncado o segmento cilíndrico: un cilindro truncado| matematicasVisuales
Cilindro truncado o segmento cilíndrico: un cilindro truncado desarrollándose | matematicasVisuales
Cilindro truncado o segmento cilíndrico: desarrollo plano de un cilindro truncado | matematicasVisuales

Este es otro ejemplo:

Cilindro truncado o segmento cilíndrico: desarrollo plano de un cilindro truncado | matematicasVisuales

El volumen de un segmento cilíndrico se puede calcular fácilmente considerando dos copias del segmento cilíndrico, dándole la vuelta a una de ellas y poniéndola encima. Entonces obtenemos un cilindro y ya podemos saber el área de la figura.

Cilindro truncado o segmento cilíndrico: volumen | matematicasVisuales

Si el plano de corte no es perpendicular al eje, la sección es una elipse. Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos P tales que la suma de las distancias desde P a dos puntos fijos F1 y F2 (llamados focos de la elipse) es constante.

Vamos a seguir a Hilbert and Cohn-Vossen en su libro 'Geometry and the Imagination' para ver una demostración muy bonita de este hecho:

"Un cilindro circular corta a cualquier plano perpendicular a su eje en una circunferencia. Un plano que no sea perpendicular al eje ni paralelo interseca al cilindro en una curva que parece una elipse. Vamos a probar que esta curva es realmente una elipse. Para ello, consideramos una esfera que encaja en el cilindro y la movemos dentro del cilindro hasta que toque al plano (Fig. 9)."

Cilindro truncado o segmento cilíndrico: elliptical section from Hilber and Cohn-Vossen's book 'Geometry and the Imagination' | matematicasVisuales
Hilbert and Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. Chelsea Publishing Company. pag.7.

"Consideramos entonces otra esfera y hacemos lo mismo por el otro lado del plano. Las esferas tocan al cilindro en dos circunferencias y tocan al plano en dos puntos F1 y F2. Sea B otro punto cualquiera de la curva de interesección del plano con el cilindro. Consideramos la recta que pasa por B y que está en el cilindro (es decir, paralela al eje). Corta a las circunferencias de contacto de las esferas en dos puntos P1 y P2. BF1 y BP1 son tangentes a una esfera fija desde un punto fijo B, y todas estas tangentes deben ser iguales, debido a la simetria rotacional de la esfera. Por lo tanto BF1 = BP1; análogamente BF2 = BP2. Por lo tanto,

Por la simetria rotacional de nuestra figura, la distancia P1P2 es independiente del punto B de la curva. Por lo tanto BF1 + BF2 es constante para todos los puntos B de la sección, es decir, la curva es una elipse con focos F1 y F2."

"El hecho que acabamos de probar puede formularse en términos de la teoría de proyecciones como sigue: La sombra que hace una circunferencia sobre un plano oblicuo es una elipse si los rayos son perpendiculares al plano de la circunferencia." (Hilbert and Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination)

REFERENCIAS

Hilbert and Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. Chelsea Publishing Company. pag.7.

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