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La aplicación interactiva de esta página es una adaptación del dibujo que hizo Leonardo da Vinci del rombicuboctaedro aumentado (Vigintisex basium elevatus) para el libro de Luca Pacioli 'De Divina Proportione' (La divina proporción).

Si añadimos pirámides a las caras de un poliedro decimos que es un poliedro 'aumentado'. En este caso se añaden pirámides a todas las caras con todas las aristas iguales, es decir, tetraedros y medios octaedros. Luca Pacioli llama a estos poliedros 'elevatus'.

Ya hemos estudiado esta técnica aplicada al cubo y hemos visto que el rombidodecaedro puede verse como un cubo aumentado.

Dodecaedro rómbico (3): cubo con pirámides
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.

En esta página vamos a estudiar el rombicuboctaedro aumentado.

El rombicuboctadro también fue descrito por Luca Pacioli y dibujado por Leonardo:

Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.

Así describe Pacioli este poliedro 'elevatus' o aumentado (tradución española):

"El cuerpo de veintiséis bases sólido o hueco elevado recibe en su formación ciento cuarenta y cuatro líneas que, unidas entre sí, según las oportunas exigencias, originan en él doscientos ochenta y ocho ángulos superficiales y veintiséis sólidos elevados piramidales, dieciocho de los cuales son deterinados por cuatro ángulos agudos superficiales y ocho por tres agudos. Está compuesto dicho cuerpo por veintiséis pirámides lateradas, dieciocho de las cuales son cuadrangulares y ocho triangulares, que se pueden discernir por la vista en el exterior, y por el mencionado cuerpo de veintiséis bases sólido plano, interior, que solamente puede ser captado por la imaginación. Sus veintiséis bases son igualmente bases de las antes mencionadas veintiséis pirámides, es decir, las dieciocho cuadrangulares de las dieciocho pirámides cuadrangulares y las ocho triangulares de las ocho pirámides cuadrangulares."
('La divina proporción' de Luca Pacioli, página 98, traducción de Juan Calatrava, Editorial Akal, 4ª edición, 2008)
Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado. Editorial Akal | matematicasvisuales
Dibujo de Leonardo da Vinci del rombicuboctaedro aumentado (Vigintisex basium elevatus solidus) para el libro de Luca Pacioli 'De divina proportione'. (Hay una versión española, 'La divina proporción' Editorial Akal. Imagen usada con permiso de la Editorial Akal).
Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado. Editorial Akal | matematicasvisuales
Dibujo de Leonardo da Vinci del rombicuboctaedro aumentado (Vigintisex basium elevatus vacuus) para el libro de Luca Pacioli 'De divina proportione'. (Hay una versión española, 'La divina proporción' Editorial Akal. Imagen usada con permiso de la Editorial Akal).

Interactuando con la aplicación podemos rotar la figura y modificar el hueco de las caras:

Rombicuboctaedro aumentado: rotando la figura, cambiando el tamaño del agujero de las caras | matematicasVisuales
Rombicuboctaedro aumentado: rotando la figura, cambiando el tamaño del agujero de las caras | matematicasVisuales
Rombicuboctaedro aumentado: rotando la figura, cambiando el tamaño del agujero de las caras | matematicasVisuales

He desarrollado una segunda versión de esta aplicación interactiva en la que se puede ver el interior de este poliedro pues se pueden separar las pirámides.

Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro aumentado para La Divina Proporción de Luca Pacioli (2)
En esta segunda versión del rombicuboctaedro aumentado podemos separar las pirámides y ver el interior de la figura. Luca Pacioli escribió que 'podemos ver el interior solo con nuestra imaginación'. La aplicación interactiva solo nos ayuda a ello.
Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, el interior es un rombicuboctaedro, separando las pirámides | matematicasVisuales

Esta figura es complicada de dibujar. Vamos a comparar el dibujo de Leonardo da Vinci con la imagen generada con la aplicación.

El matemático y escultor holandés Rinus Roelofs se dio cuenta, por primera vez, de que el dibujo de Leonardo tenía errores. Sobre esta idea, Dirk Huylebrouck escribió un artícujo que fue publicado en la revista Scientific American: Lost in Triangulation: Leonardo da Vinci's Mathematical Slip-Up,

Leonardo da Vinci fue un genio y sus dibujos para el libro de Pacioli son preciosos. Estos detalles son solo una anécdota que nos llevan a estudiar y disfrutar de este bonito poliedro.

Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, comparación entre el dibujo de Leonardo da Vinci y el generado por la aplicación interactiva | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, comparación entre el dibujo de Leonardo da Vinci y el generado por la aplicación interactiva | matematicasvisuales

Si nos fijamos en las dos pirámides que apuntan directamente hacia la derecha y la izquierda notamos algo extraño. Tendría que ser pirámides de base cudadrada pero no está claro si son de base cuadrada o triangular. Quizás esta diferencia dependa del punto de vista.

Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, comparación entre el dibujo de Leonardo da Vinci y el generado por la aplicación interactiva | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, comparación entre el dibujo de Leonardo da Vinci y el generado por la aplicación interactiva | matematicasvisuales

Los vértices de dos pirámides triangulares de abajo a la derecha e izquierda no están dibujadas.

La principal diferencia es que la pirámide de abajo tendría que ser de base triangular pero es cuadrangular en el dibujo de Leonardo.

Otro pequeño detalle es que las pirámides que están al lado de esta tendrían que ser de base cuadrada y simétricas.

Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, comparación entre el dibujo de Leonardo da Vinci y el generado por la aplicación interactiva | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, comparación entre el dibujo de Leonardo da Vinci y el generado por la aplicación interactiva | matematicasvisuales

Haylebrouck comenta que Leonardo da Vinci fue el primero que dibujó el rombicuboctaedro para ser impreso y que le tuvo que añadir las pirámides y dibujar el poliedro aumentado o 'elevatus' con forma de estrella. No sabemos si tuvo un modelo a su disposición.

Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, modelo hecho con cartulina | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, modelo hecho con cartulina | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: rombicuboctaedro aumentado, modelo hecho con cartulina | matematicasvisuales


Sin embargo, una opinión diferente fue publicada por Carlo H. Sequin. El autor piensa que no se trata de un error. Lo que Leonardo estaría dibujando es un pseudo rombicuboctaedro aumentado y no un rombicuboctaedro aumentado.

Para repasar el pseudo rombicuboctaedro podemos seguir el siguiente enlace:

Pseudo rombicuboctaedro
También llamado girobicúpula cuadrada elongada. Es muy parecido al rombicuboctaedro pero es menos simétrico.

En este supuesto, el principal problema que es la pirámide de abajo estaría bien dibujada pues sería una pirámide de base cuadrada como la dibujó Leonardo y, por lo tanto, no habría error.

Vamos a comparar el dibujo de Leonardo y el del pseudo rombicuboctaedro aumentado para comprobar la hipótesis de Carlo Sequin.

Tengamos en cuenta que hay una objeción a este punto de vista: si leemos el libro de Pacioli vemos que escribe sobre varios poliedros (que se corresponden con los dibujos de Leonardo) en el mismo orden ('planus solidus', 'planus vacuus' 'elevatus solidus' and 'elevatus vacuus'). Después de la descripción del rombicuboctaedro ('planus solidus and vacuus') viene la del rombicuboctaedro aumentado ('evelatus solidus and vacuus') y esos son los dibujos que esperamos de Leonardo.

La siguiente aplicación es una adaptación del dibujo de Leonardo pero en el supuesto de que usa el pseudo rombicuboctaedro como poliedro base de la aumentación.

Leonardo da Vinci: pseudo rombicuboctaedro aumentado | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: pseudo rombicuboctaedro aumentado | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: pseudo rombicuboctaedro aumentado | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: augmented pesudo rhombicuboctahedron  | matematicasvisuales

Si usamos el pseudo rombicuboctaedro el problema principal, el de la pirámide de abajo, está resuelto.

Persisten los otros detalles, como que el dibujo no es simétrico. Además el dibujo no responde a lo que esperamos como ilustración del rombicuboctaedro aumentado para el libro de Luca Pacioli.

En esta página tenemos las dos aplicaciones interactivas que podemos manipular y formarnos nuestra propia opinión.

Las siguientes imágenes son modelos realizados con cartulina del rombicuboctaedro y del pseudo rombicuboctaedro con las pirámides para ver los modelos aumentados.

Leonardo da Vinci: pseudo rombicuboctaedro aumentado, modelo hecho con cartulina | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: pseudo rombicuboctaedro aumentado, modelo hecho con cartulina | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: pseudo rombicuboctaedro aumentado, modelo hecho con cartulina | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Luca Pacioli - La divina proporción - Ediciones Akal, 4th edition, 2004. Spanish edition of 'De divina proportione'. Translation by Juan Calatrava.
Sitio web de Rinus Roelofs. Este escultor y matemático holandés nos muestra su trabajo y muchas ideas preciosas y recursos. Por ejemplo, su artículo A Mistake in a drawing by Leonardo da Vinci.
Dirk Huylebrouck, Lost in Triangulation: Leonardo da Vinci's Mathematical Slip-Up, Scientican American, March 2011.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter, 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
Peter R. Cromwell, 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
Leonardo da Vinci's Geometric Sketches Frank J. Swetz's article in MathDl, Loci:Convergence.
Leonardo da Vinci's Polyhedra George Hart's excellent website about polyhedra.

MÁS ENLACES

Rombicuboctaedro aumentado
A partir de un rombicuboctaedro podemos añadir pirámides a sus caras. Obtenemos un precioso poliedro que parece una estrella.
Pseudo rombicuboctaedro
También llamado girobicúpula cuadrada elongada. Es muy parecido al rombicuboctaedro pero es menos simétrico.
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Leonardo da Vinci: Dibujo del dodecaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su dodecaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro estrellado (Stella Octangula)  para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro.
Leonardo da Vinci: Dibujo del tetraedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su tetraedro truncado.
Leonardo da Vinci: Dibujo de un poliedro de 72 caras para la Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación del poliedro de 72 caras (Septuaginta) también conocido como esfera de Campanus de Novara.
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