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Teorema de Pitágoras: demostración dinámica de Baravalle

En MatemáticasVisuales ya hemos dedicado atención al teorema de Pitágoras y hemos podido jugar con aplicaciones interactivas que nos permiten 'ver' demostraciones muy intuitivas de este famoso teorema. Una de ellas está inspirada en la demostración de Euclides (aunque Euclides no usa este tipo de demostración dinámica pero los principios en los que se basan ambas demostración son muy parecidos). La otra está inspirada en un sencillo mosaico.

Teorema de Pitágoras: Demostración inspirada en Euclides
Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras, inspirada en la de Euclides.
El teorema de Pitágoras en un mosaico
Podemos ver el teorema de Pitágoras en un mosaico. Es una demostración gráfica sencilla del teorema de Pitágoras que vemos en suelos cuando se combinan cuadrados de dos tamaños.


El teorema de Pitágoras trata de una importante propiedad de los triángulos rectángulos. Afirma que el (área del) cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo (el lado más largo) es igual a la suma de (las áreas de) los cuadrados de los dos catetos (los lados que forman el ángulo recto).

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En esta página podemos interactuar con otra aplicación dinámica del teorema de Pitágoras que es la que hizo Hermann Baravalle (1945).

La principal idea es que si un paralelogramo se transforma por un cizallamiento (es decir, se transforma en un paralelogramo preservando la base y la altura) su área permanece constante.

Teorema de Pitágoras: demostración dinámica de Baravalle | matematicasvisuales
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Ahora consideramos un movimiento (una traslación, en este caso). El área del paralelogramo no cambia.

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Hacemos otro cizallamiento:

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Y esta es una demostración del teorema de Pitágoras:



REFERENCIAS

Euclides, Los elementos
Alexander Bogomolny, Cut the Knot. Pythagorean theorem.
H.S.M. Coxeter, 'Introduction to Geometry', John Wiley and Sons, Second edition, pp. 8-9.
John Stillwell, "Mathematics and its History", Springer-Verlag, New York, 2002.
Martin Gardner, 'Sixth Book of Mathematical Diversions from "Scientific American"'. Scribner, 1975.
Eli Maor, "The Pythagorean theorem: a 4000-year history", Princeton University Press, United States of America, 2007.
F.J. Swetz and T.I. Kao, "Was Pythagoras chinese?", The Pennsylvania State University Press, United States of America, 1977.

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