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Exposición: Sólidos arquimedianos
Poliedros arquimedianos | matematicasVisuales


Esta página es complementaria de la exposición: "Los sólidos arquimedianos" que se realiza en el IES Alonso Quijano de Alcalá de Henares durante el mes de junio de 2022.

Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales
Diseño: Miguel Cardil.


Es la tercera exposición sobre poliedros que se realiza en el IES Alonso Quijano durante estos últimos años. Las otras dos fueron 'Homenaje a Kepler: las abejas y el dodecaedro rómbico' (2020) y 'Los sólidos platónicos' (2021).

Homenaje a Kepler:Las abejas y el dodecaedro rómbico
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.
Exposición: Los sólidos platónicos.
Exposición sobre los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Construcción de los poliedros encajados. El Omnipoliedro. Algunas propiedades básicas que se pueden aprender de esta construcción.


Los poliedros arquimedianos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de más de un tipo. Se combinan dos o más tipos de polígonos para formar estos poliedros.Diciéndolo de un modo sencillo, también debemos exigir que los vértices de cada uno de estos poliedros 'sean iguales'

Fueron descubiertos por Arquímedes pero no ha quedado rastro de su trabajo sobre estos poliedros. Hay una referencia del matemático Pappus en la que afirma que Arquímedes descubrió los trece poliedros que llevan su nombre. Posteriormente, Kepler redescubre estos poliedros.

La mayoría de los poliedros expuestos han sido recortados y montados por alumnos de 1º ESO del IES Alonso Quijano. Tienen unos doce años y han realizado un trabajo muy bueno. Hecho entre todos, por equipos y trabajando un poco en casa, ha sido realizado con gusto por los alumnos.

La técnica utilizada ha sido recortar polígonos regulares en cartulina y unir las caras con gomas elásticas.

En el siguiente enlace se hace una descripción más detallada de este material, su origen y difusión, plantillas para descargar y ejemplos:

Recursos: Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.


Objetivos

Con la construcción de estos poliedros arquimedianos y su exposición solo se ha pretendido disfrutar de su belleza y hacer una presentación muy sencilla.

Comprender que hay una relación entre estos sólidos arquimedianos y los platónicos. Los cinco sólidos platónicos están emparejados (dualidad), de modo que el cubo y el octaedro son poliedros duales, el icosaedro y el dodecaedro forman otra pareja y el tetraedro es autodual. Mostramos que los sólidos arquimedianos puede considerarse que forman tres familias: la relacionada con el tetraedro, la relacionada con el cubo y octaedro y la relacionada con el icosaedro y dodecaedro.

Vemos que algunos de estos poliedros arquimedianos se obtienen cortando los vértices de correspondientes sólidos platónicos. Este procedimiento se llama truncamiento. Pero no todos los poliedros arquimedianos se obtienen por truncamiento de algún sólido platónico.



Información preliminar


Como una introducción podría ser conveniente repasar la familia de poliedros regulares (los sólidos platónicos) y la idea de emparejamiento entre esos sólidos (dualidad):

Los sólidos platónicos.
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.
Los sólidos platónicos: dualidad.
Estudiamos el concepto de dualidad de poliedros aplicado a los sólidos platónicos. El cubo y el octaedro son duales, el icosaedro y el dodecaedro son duales y el tetraedro decimos que es autodual.


A) La familia del tetraedro


A.1) Tetraedro truncado


Obtenemos un sólidos arquimediano truncando convenientemente los cuatro vértices de un tetraedro. El poliedro se llama tetraedro truncado.

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: tetraedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: tetraedro truncado | matematicasVisuales
El tetraedro truncado
El tetraedro truncado es un sólido arquimediano que tiene 4 triángulos y 4 hexágonos.
Leonardo da Vinci: Dibujo del tetraedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su tetraedro truncado.


B) La familia del cubo-octaedro


B.1) Cubo truncado


Truncando un cubo obtenemos un cubo truncado.

Éste es el desarrollo plano del cubo truncado:

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Cubo truncado, desarrollo plano | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: Cubo truncado, construcción con cartulina y gomas elásticas | matematicasVisuales


B.2) Octaedro truncado


Truncando un octaedro obtenemos un octaedro truncado.

Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales

Este poliedro es muy interesante pues tesela el espacio.

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: octaedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: octaedro truncado | matematicasVisuales
El octaedro truncado formado por medios cubos
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El octaedro truncado tesela el espacio
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Leonardo da Vinci: Dibujo del octaedro truncado para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.


B.3) Cuboctaedro


Si truncamos un cubo (o un octaedro) 'con más profundidad' hasta el centro de sus aristas obtenemos, en ambos casos, el mismo poliedro que se llama cuboctaedro.

Volume of a cuboctahedron: a cuboctahedron made with rubber bands and paper | matematicasvisuales
Volume of a cuboctahedron: plane net of a cuboctahedron made with rubber bands and paper | matematicasvisuales
Leonardo da Vinci: Dibujo del cuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
El volumen del cuboctaedro
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El volumen del cuboctaedro (II)
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Truncamientos del cubo y del octaedro
Truncando un cubo podemos obtener un cubo truncado y un cuboctaedro. Si truncamos un octaedro podemos conseguir un octaedro truncado y, también, un cuboctaedro.


El cuboctaedro y el dodecaedro rómbico son poliedros duales.

El dodecaedro rómbico es un poliedro descubierto por Kepler y que tiene muy interesantes propiedades, entre ellas, que está relacionado con cómo las abejas construyen sus panales y que tesela el espacio.

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La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.


B.4) Pequeño rombicuboctaedro


También están relacionados con el cubo y el octaedro dos poliedros que llevan el prefijo 'rombi'.

El primero es el rombicuboctaedro (o pequeño rombicuboctaedro)

Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales
Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales
Leonardo da Vinci: Dibujo del rombicuboctaedro para La Divina Proporción de Luca Pacioli
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.


Es interesante destacar que hay una variante de este poliedro que, en algunas ocasiones, también se considera un poliedro de Arquímedes. Es el llamado pseudo-rombicuboctaedro. Si consideraramos este caso, entonces habría catorce sólidos arquimedianos.

Pseudo rombicuboctaedro
También llamado girobicúpula cuadrada elongada. Es muy parecido al rombicuboctaedro pero es menos simétrico.


B.5) Gran rombicuboctaedro


El otro se llama gran rombicuboctaedro.

Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales

El prefijo 'rombi' se debe a que alguna de las caras de estos poliedros son coplanares con las del cubo y las del octaedro. Pero otras doce las comparte con un poliedro rómbico que se llama dodecaedro rómbico.

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B.6) Cubo romo


Un sexto poliedro de esta familia es especialmente curioso. Se llama cubo romo. Se puede construir con dos orientaciones distintas y resultan dos poliedros simétricos (a este tipo de parejas de formas especulares se las llama enantiomorfas o quirales).

Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: snub cube plane net | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: snub cube plane net | matematicasVisuales


C) La familia del icosaedro-dodecaedro




C.1) Icosaedro truncado


Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: icosaedro truncado| matematicasVisuales
Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales

Es un poliedro muy interesante pues está relacionado con la estructura molecular del Carbono-60. También recibe el nombre de Fullereno y está presente en muchos campos de fútbol pues éste es un poliedro que se usa para construir los balones de muchos deportes.



C.2) Dodecaedro truncado


Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: dodecaedro truncado | matematicasVisuales
Construcción de poliedros con cartulina y gomas elásticas: dodecaedro truncado | matematicasVisuales


C.3) Icosidodecaedro


Truncando un dodecaedro (o un icosaedro) hasta el centro de cada una de sus aristas se obtiene el icosidodecaedro.

Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales

El icosidodecaedro y el poliedro rómbico triacontaedro son poliedros duales.



C.4) Pequeño rombicosidodecaedro


Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales

Los poliedros de la familia del icosaedro-dodecaedro con el prefijo 'rombi' tienen caras en los planos del dodecaedro, del icosaedro y del triacontaedro (estas son los treinta cuadrados).



C.5) Gran rombicosidodecaedro


Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales



C.6) Dodecaedro romo


Exposición: Los sólidos arquimedianos. |matematicasVisuales

Precioso poliedro que, al igual que el cubo romo, tiene dos formas enantiomorfas.



REFERENCIAS

Florencio Villarroya Bullido, 'El empleo de materiales en la enseñanza de la geometría', Revista interuniversitaria de formación del profesorado (1994).
Peter R. Cromwell - Polyhedra, Cambridge University Press, 1999.
Hans Rademacher y Otto Toeplitz - Números y figuras, Alianza Editorial, 1970.
Sitio web sobre construcción de poliedros de George Hart
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. (Versión en castellano publicada por Salvat 'Instantáneas matemáticas', 1986).
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.

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