"La Logarithmotechnia de Nicolas Mercator (1620-1687)se publicó en 1668. Las dos primeras partes de este libro estaban dedicadas al cálculo de una tabla de logaritmos comunes. (...)

Es la tercera parte de la Logarithmotechnia, que es muy diferente, la que tiene ahora mayor interés. Aquí Mercator encuentra su famosa serie (que parece que ya fue usada por Newton previamente)

para el área bajo la hipérbola

sobre el intervalo de 0 a x."(Edwards, pág. 162)

Ya se sabía hacia 1660, como consecuencia del trabajo de Gregory St. Vincent y de Sarasa , que hay una relación entre el área bajo la hipérbola y el logaritmo.

La serie de Mercator para el logaritmo aproxima la función sólo entre 0 y 2. Además, su convergencia es muy lenta y su uso no es práctico para calcular logaritmos.

Euler sustituye x por -x en la serie de Mercator y resta los logaritmos para obtener

Euler usa una función racional

y su serie converge para todos los números reales.

Además, podemos ver en el mathlet lo rápido que converge esta serie de Euler.

ENLACES

	El logaritmo de un producto Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma.
	Una propiedad de la integral de la hipérbola Esta propiedad es la base que nos permite usar los logaritmos para transformar multiplicaciones en sumas.
	Polinomios de Taylor: función exponencial Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
	Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.