La función exponencial compleja es una función compleja que podemos definir como una serie de potencias y que extiende la función exponencial real a valores complejos.

La función exponencial compleja es periódica con periodo .

Esta serie converge en todo el plano complejo. Entonces el valor de la función se puede aproximar por una suma parcial (polinomio), y tomando un grado suficientemente grande podemos hacer la aproximación tan precisa como queramos.

Lo podemos ver si nos fijamos en el Resto (la diferencia entre la función y el polinomio).

Por ejemplo, esto es un polinomio de aproximación de grado 6:

Y esta es una representación del resto. La aproximación es buena pero solo cerca del centro:

Podemos ver como mejora la aproximación cuando el polinomio es de grado 40:

Éste es el resto:

El comportamiento de la serie de potencias de la función exponencial compleja es muy bueno porque la serie convege en todo el plano. Podemos ver un comportamiento semejante estudiando la función coseno compleja.

ENLACES

	Función exponencial compleja La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
	Polinomios de Taylor (1): función exponencial Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
	La exponencial como inversa del logaritmo Partiendo de la definición de logaritmo podemos definir la exponencial como su inversa.
	Polinomios de Taylor: función coseno compleja La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
	Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
	Más sobre funciones complejas Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.