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Polinomios de Taylor: Función exponencial compleja


La función exponencial compleja es una función compleja que podemos definir como una serie de potencias y que extiende la función exponencial real a valores complejos.

Polinomios de Taylor Complejos: Función Exponencial. | matematicasVisuales

La función exponencial compleja es periódica con periodo .

Esta serie converge en todo el plano complejo. Entonces el valor de la función se puede aproximar por una suma parcial (polinomio), y tomando un grado suficientemente grande podemos hacer la aproximación tan precisa como queramos.

Lo podemos ver si nos fijamos en el Resto (la diferencia entre la función y el polinomio).

Por ejemplo, esto es un polinomio de aproximación de grado 6:

Polinomios de Taylor Complejos: Función Exponencial. Polinomio de Taylor de grado 6 | matematicasVisuales

Y esta es una representación del resto. La aproximación es buena pero solo cerca del centro:

Polinomios de Taylor Complejos: Función Exponencial. Resto del polinomio de grado 6| matematicasVisuales

Podemos ver como mejora la aproximación cuando el polinomio es de grado 40:

Polinomios de Taylor Complejos: Función Exponencial. Polinomio de Taylor de grado 40 | matematicasVisuales

Éste es el resto:

Complex Taylor polynomials: Resto del polinomio de grado 40 | matematicasVisuales

El comportamiento de la serie de potencias de la función exponencial compleja es muy bueno porque la serie convege en todo el plano. Podemos ver un comportamiento semejante estudiando la función coseno compleja.

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pag. 80) - Oxford University Press

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