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La función coseno compleja: una aproximación geométrica


La función coseno en los reales puede extenderse al campo complejo usando la función exponencial:

La función coseno complejo formula | matematicasvisuales

Como la función exponencial es periódica con periodo ,

La función exponencial compleja es periodica | matematicasvisuales

entonces la función coseno compleja es periódica, pero con periodo 2*pi.

Arrastrando el rectángulo podemos ver cómo la función coseno es periódica.

La función coseno compleja es periodica (arrastrar el rectangulo) | matematicasvisuales

Podemos ver desde otro punto de vista esta periodicidad in la página sobre el Polinomio de Taylor de la función coseno.

Polinomio de Taylor de la función coseno compleja | periodicidad | matematicasvisuales

La función coseno compleja tiene mucho en común con la función compleja real, por ejemplo:

La función coseno es par | matematicasvisuales
La función coseno compleja es función par | matematicasvisuales

La imagen de una línea horizontal es una elipse:

La imagen de una línea vertical es una hipérbola:

Complex Cosine Function |hyperbola  | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pag. 88-89) - Oxford University Press

MÁS ENLACES

Funciones polinómicas complejas (1): Potencias de exponente natural
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Funciones polinómicas complejas (2): Polinomio de grado 2
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Funciones polinómicas complejas (3): Polinomio de grado 3
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Funciones polinómicas complejas (4): Polinomio de grado n
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Funciones polinómicas complejas (5): Polinomio de grado n (variante)
Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.
Cero y polo
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
Cero y polo (variante)
Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
Inversión
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Inversion: una transformación anticonforme
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Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Multifunciones: Dos puntos de ramificación
Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
Polinomios de Taylor: función exponencial compleja
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función coseno compleja
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.