La función compleja

Tiene dos singularidades, en z = i y en z = -i.

Si consideramos la serie de potencias complejas centradas en un punto, existe un círculo centrado en ese punto tal que la serie de potencias converge dentro del círculo y diverge fuera de él.

Es un hecho muy importante que si una serie converge en un punto, entonces su valor puede aproximarse por una suma parcial (polinomio), y usando un grado suficientemente grande podemos hacer la aproximación tan precisa como queramos.(Tristan Needham)

Podemos ver estos polinomios de aproximación y si restringimos el campo al círculo de convergencia podemos ver claramente cómo el polinomio aproxima a la función.

El resto es la diferencia entre la función y el polinomio. Un valor muy claro indica un módulo pequeño. Conforme aumentamos el grado del polinomio la zona blanca va aproximándose al círculo de convergencia.

Esta función compleja nos ayuda a comprender el comportamiento de la serie de taylor de una función real que no tiene ninguna singularidad real y que coincide con esta función compleja en el eje real:

ENLACES

	Polinomios de Taylor: función exponencial compleja La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
	Polinomios de Taylor: función coseno compleja La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
	Polinomios de Taylor: función racional sin singularidades reales La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
	Polinomios de Taylor: función racional con 2 singularidades La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
	Polinomios de Taylor: función racional 1 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función racional 2 La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Polinomios de Taylor: función exponencial Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
	Polinomios de Taylor: función seno Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
	Polinomios de Taylor: raíz cuadrada La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
	Más sobre funciones complejas Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.