Integral de potencias con exponente natural
La fórmula de la integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri (aunque con otra notación, claro):
Queremos exponer aquí un procedimiento para calcularla.
La partición del intervalo se hace de modo que las bases están en progresión geométrica y también están en progresión geométrica las áreas de los rectángulos. Podemos sumar estos rectángulos y el resultado es tan próximo a la fórmula como queramos.
Si m es el número de rectángulos, consideramos la partición del intervalo [a,b]:
que forman una progresión geométrica de razón q, con m+1 puntos. Las bases de los rectángulos también forman una progresión geométrica de razón q, con m términos.
Las alturas de los rectángulos también están en progresión geométrica
Y también las áreas de los rectángulos.
Una progresión geométrica que sabemos sumar
Considerando un número de rectángulos m suficientemente grande, podemos aproximar q a 1 tanto como queramos y así obtenemos la fórmula de la integral.
REFERENCIAS
ENLACES
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Integral de Riemann
Aproximación al área usando rectángulos.
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Suma de una serie geométrica
Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4
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El Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico
Arquímedes explica en 'El Método' cómo se puede utilizar la ley de la palanca para descubrir cuál es el área de un segmento parabólico.
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