matematicas visuales home | visual math home

Después de ver las funciones afines, cuadráticas y cubicas, ahora podemos estudiar funciones polinómicas de mayor grado.

Un modo interesante de general funciones polinómicas es usar los polinomios de interpolación de Lagrange. Dados n puntos en el plano, el polinomio de interpolación de Lagrange es el polinomio de grado igual (o menor) que (n-1) que pasa por esos n puntos.

Nuestro propósito es comprender mejor el comportamiento de diferentes funciones polinómicas y sus derivadas.

EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función en un punto puede definirse como la tasa de variación instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Podemos definir la pendiente de la función en un punto como la pendiente de la recta tangente.

La pendiente de la tangente depende, en general, de x. Entonces, a partir de una función podemos definir una nueva función, la función derivada de la función original.

El proceso de encontrar la función derivada de una función se llama diferenciación.

El valor de la función dericada para cada valor de x es la pendiente de la función original en x.

Podemos repasar varios conceptos que ya hemos visto. Por ejemplo, la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente en cada punto:

Polinomios y derivada. Polinomios de Lagrange: interpretación geométrica de la derivada como pendiente de la tangente | matematicasVisuales

Pero, ¿cómo podemos dibujar la tangente? Podemos usar una lupa.

Si miramos muy cerca el punto en la gráfica de la función podemos ver cómo la recta tangente es muy semejante a la función. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función en ese punto:

Polinomios y derivada. Polinomios de Lagrange: La función se parece a la recta tangente cuando miramos muy cerca (la recta tangente es la mejor aproximación lineal)| matematicasVisuales

Hay una relación entre la derivada y el caracter creciente o decreciente de una función (polinómica). Si la derivada es positiva en algún intervalo entonces la función es creciente en ese intervalo y si la derivada es negativa en algún intervalo entonces la función es decreciente en ese intervalo:

Polinomios y derivada. Polinomios de Lagrange:  crecimiento y decrecimiento de una función y derivada | matematicasVisuales

Un punto estacionario es un punto en el que la derivada se hace cero (la pendiente de la tangente es cero, la tangente es una recta horizontal). En esos puntos la función deja de crecer o decrecer. En el caso de las funciones polinómicas los puntos estacionarios son los mismos que los puntos críticos.

En un punto estacionario la función puede cambiar de creciente a decreciente. Entonces ese punto estacionario es un máximo local (o máximo relativo). La derivada cambia de positiva a negativa.

Polinomios y derivada. Polinomios de Lagrange:  punto estacionario que es un máximo local, tangente horizontal | matematicasVisuales

En otros casos, en un punto estacionario la función puede cambiar de decreciente a creciente. Entonces el punto estacionario es un mínimo local (o mínimo relativo). La derivada cambia de negativa a positiva.

Hay puntos estacionarios que no son máximos ni mínimos. Son puntos e inflexión, es decir, puntos en los que cambia el signo de la curvatura.

Polinomios y derivada. Polinomios de Lagrange:  punto estacionario que es un punto de inflexión | matematicasVisuales

Los puntos de inflexión están relacionados con los máximos o mínimos locales de la función derivada. En estos puntos la tangente corta a la curva, la cruza.

Polinomios y derivada. Polinomios de Lagrange: punto de inflexión y extremos de la función derivada | matematicasVisuales

Una idea simple e interesante es que cuando trasladamos arriba y abajo el gráfico de la función (sumamos o restamos un número a la función original) la función derivada no cambia. La razón es muy intuitiva y podemos jugar con la siguiente versión del mathlet para ver esta propiedad. Cuando movemos el punto violeta trasladamos verticalmente la función y la función derivada no cambia:

Es importante notar que la derivada de un polinomio de grado 1 es una función constante (un polinomio de grado 0). La derivada de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 1. Y que la derivada de un polinomio de grado 3 es un polinomio de grado 2.

Cuando derivamos esas funciones polinómicas el resultado es un polinomio de un grado menor que la función original.

Cuando estudiamos la integral de un polinomio de grado 2 veremos que en este caso la nueva función es un polinomio de grado 3. Un grado más que la función original.

Estos resultados están relacionados con el Teorema Fundamental del Cálculo.

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

MÁS ENLACES

Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas
La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.
Funciones polinómicas (1): funciones afines
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Potencias con exponentes naturales (y exponentes racionales positivos)
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Integral definida
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.
Las funciones monótonas son integrables
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Integral indefinida
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Funciones polinómicas e integral (2): Funciones cuadráticas
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
Funciones polinómicas e integral (3): polinomios de Lagrange (funciones polinómicas en general)
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.
El Teorema Fundamental del Cálculo (1)
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Teorema Fundamental del Cálculo (2)
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor (2): función seno
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
Polinomios de Taylor (3): raíz cuadrada
La función no está definida para valores menores que -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (4): función racional 1
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (5): función racional 2
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
Funciones polinómicas complejas (2): Polinomio de grado 2
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Funciones polinómicas complejas (3): Polinomio de grado 3
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Funciones polinómicas complejas (4): Polinomio de grado n
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.