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Una función cúbica es una función polinómica de grado 3. Las funciones cúbicas tienen expresiones del tipo:

Estamos interesados en estudiar la derivada de funciones simples con un punto de vista intuitivo y visual. Para estudiar la derivada de una función cúbica vamos a seguir la misma aproximación que hemos usado para el caso de las funciones cuadráticas.

EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función en un punto puede definirse como la tasa de variación instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Podemos definir la pendiente de la función en un punto como la pendiente de la recta tangente.

La pendiente de la tangente depende, en general, de x. Entonces, a partir de una función podemos definir una nueva función, la función derivada de la función original.

El proceso de encontrar la función derivada de una función se llama diferenciación.

El valor de la función dericada para cada valor de x es la pendiente de la función original en x.

Para representar la derivada en un punto podemos dibujar la recta tangente a la gráfica de una función cúbica en ese punto:

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: recta tangente a una función cúbica en un punto | matematicasVisuales

Pero, ¿cómo podemos dibujar la tangente? Podemos usar una lupa. Si miramos muy cerca el punto en la gráfica de la función podemos ver cómo la recta tangente es muy semejante a la función. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función en ese punto:

Polinomios y derivada. Polinomios de Lagrange: La función se parece a la recta tangente cuando miramos muy cerca (la recta tangente es la mejor aproximación lineal)| matematicasVisuales

Entonces podemos dibujar una recta paralela a esta tangente a través del valor x-1 y obtenemos un triángulo rectángulo:

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: dibujando la derivada de una función cúbica | matematicasVisuales

La derivada de una función cúbica es una función cuadrática.

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: la función derivada de una función cúbica es una función cuadrática, una parábola | matematicasVisuales

Un punto crítico es un punto en el que la tangente es paralela al eje de abcisas (eje x). Es decir, que la pendiente de la recta tangente en ese punto es 0.

En el siguiente ejemplo podemos ver una función cúbica con dos puntos críticos. Uno es un máximo local y el otro es un mínimo local. En estos puntos, la función derivada (una parábola) corta al eje x:

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: puntos estacionarios de una función cúbica (donde la derivada corta al eje de abcisas) | matematicasVisuales

Estos puntos críticos son puntos en los que la función deja de crecer o decrecer (también se les llama puntos estacionarios). En estos puntos, la recta tangente es horizontal.

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: en los puntos críticos o estacionarios la tangente es horizontal | matematicasVisuales

Para encontrar los puntos estacionarios podemos resolver la ecuación cuadrática:

En este caso, las soluciones de esta ecuación son:

Como ya sabemos (funciones cuadráticas), algunas ecuaciones cuadráticas no tienen soluciones reales (la parábola no corta al eje de las x). En estos casos la función cúbica no tiene puntos críticos:

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: una función cúbica que no tiene puntos críticos | matematicasVisuales

Pero una parábola siempre tiene un vértice. El vértice de la parábola está relacionado con un punto de la función cúbica. Llamamos a este punto un punto de inflexión.

Un punto de inflexión de una función cúbica es el único punto de la gráfica en el que cambia la concavidad.

La curva cambia de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo, o viceversa.

La recta tangente a una función cúbica en el punto de inflexión cruza la gráfica:

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: La recta tangente en un punto de inflexión corta al gráfico de la función | matematicasVisuales

Para calcular el punto de inflexión podemos calcular el vértice de la parábola:

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: el punto de inflexión se corresponde con el vértice de la derivada | matematicasVisuales

Este es un ejemplo de un punto de inflexión de una función cúbica que no tiene puntos críticos:

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: punto de inflexión de una función cúbica sin puntos críticos | matematicasVisuales

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: punto de inflexión de una función cúbica sin puntos críticos, la recta tangente corta la gráfica | matematicasVisuales
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: punto de inflexión de una función cúbica sin puntos críticos y el vértice de la función derivada | matematicasVisuales

El punto de inflexión en el siguiente ejemplo es también un punto estacionario (observamos que el vértice de la derivada toca al eje de abcisas).

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: punto de inflexión que también es un punto estacionario (la función derivada toca al eje de abcisas en su vértice) | matematicasVisuales

Un punto de inflexión puede ser un punto estacionario, pero no es un máximo o mínimo local.

Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: punto de inflexión que tambiés es un punto estacionario, la recta tangente es horizontal | matematicasVisuales

Una idea simple e interesante es que cuando trasladamos arriba y abajo el gráfico de la función (sumamos o restamos un número a la función original) la función derivada no cambia. La razón es muy intuitiva y podemos jugar con la siguiente versión del mathlet para ver esta propiedad. Cuando movemos el punto violeta trasladamos verticalmente la función y la función derivada no cambia:

Es importante notar que la derivada de un polinomio de grado 1 es una función constante (un polinomio de grado 0). La derivada de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 1. Y que la derivada de un polinomio de grado 3 es un polinomio de grado 2.

Cuando derivamos esas funciones polinómicas el resultado es un polinomio de un grado menor que la función original.

Cuando estudiamos la integral de un polinomio de grado 2 veremos que en este caso la nueva función es un polinomio de grado 3. Un grado más que la función original.

Estos resultados están relacionados con el Teorema Fundamental del Cálculo.

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

MÁS ENLACES

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