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Funciones afines


Las funciones más simples son las funciones afines. Sus fórmulas son polinomios de grado uno o cero (este es el caso de la función constante). Sus gráficas son líneas rectas.

Una fórmula de estas funciones afines es:

Esta es la expresión explícita de una recta, donde b es la ordenada en el origen y m es la pendiente.

La pendiente, también llamada gradiente de la recta, mide la inclinación de la línea con la horizontal, el eje X. La pendiente de una recta caracteriza la dirección hacia la que apunta la recta.

Cuando la pendiente, m, es positiva, la recta es creciente (hacia la derecha va hacia arriba). Cuanto mayor es m más hacia arriba se dirige la recta.

Polynomials functions. Linear function: y-intercept | matematicasVisuales

Cuando la pendiente es negativa la línea es decreciente (hacia la derecha va hacia abajo).

Este es un ejemplo de una función afín con pendiente negativa:

Polynomials functions. Linear function: y-intercept | matematicasVisuales

Las rectas horizontales tienen pendiente m=0. Todas las rectas horizontales son de la forma y = k (donde k es un número real). Como funciones, son las funciones constantes.

Las rectas verticales no tienen pendiente. No son funciones. Si tratamos de calcular la pendiente estamos dividiendo entre 0.

El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto donde el gráfico de la función cruza al eje Y (eje de ordenadas).

Funciones polinómicas. Funciones afines: Corte eje de ordenadas, ordenada en el origen | matematicasVisuales

Cuando b es positivo, la recta corta al eje de ordenadas por encima del eje X (y=0) y si b es negativo, la línea cruza al eje de ordenadas por debajo del eje X.



Una recta está completamente determinada por dos puntos distintos de esa recta.

Si (x0, y0) y (x1, y1) son dos puntos (x0 distinto de x1) de una recta podemos calcular la pendiente de la recta:

Funciones polinómicas. Funciones afines: la pendiente | matematicasVisuales

En aplicaciones, si conocemos que una relación funcional entre variables se caracteriza por una razón de cambio constante, entonces la función es afín y la pendiente mide esa razón de cambio. Usamos esta información para escribir la fórmula de la función.

La línea que pasa por P(x0, y0) con pendiente m se puede expresar así: (forma punto-pendiente):

Podemos reordenarla para escribir esta expresión como una función:

Podemos escribir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Tiene la ventaja de que no tenemos que dividir. Podemos llegar a la forma general (esta forma algebraica tiene la ventaja de que incluye rectas verticales x = k, donde k es cualquier número real):

Un valor importante es el punto en el que la gráfica de la recta corta al eje de las Xs (eje de abcisas). Todas las rectas que no sean horizontales tienen un punto de corte con el eje de abcisas. Para calcularlo resolvemos la ecuación:

La solución de la ecuación se llama raíz del polinomio. Más adelante veremos que, en general, una función puede tener varios de estos valores de corte con el eje de abcisas.

El valor de x para el que la función lineal (con pendiente m distinta de 0) es:

Funciones polinómicas. Funciones afines: corte eje abcisas, raíces | matematicasVisuales

El ejemplo más simple de Polinomio de Lagrange es, desde luego, la función afín a través de dos puntos. Podemos escribir esta función afín como un ejemplo básico de Polinomio de Lagrange:

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

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La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
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