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Aproximación Normal a la Distribución Binomial

En algunos casos una Distributión Binomial puede aproximarse por una Distributión Normal (que tenga la misma media y varianza).

Si X es una variable aleatoria con una Distribución Normal podemos escribir:

Entonces, si Y es una variable aleatoria Normal con la misma media y varianza:

Podemos usar dos aproximaciones de la Normal a la Binomial. En primer lugar, podemos usar la función de densidad normal como una aproximación de la binomial. En el applet, esta aproximación está representada por la línea naranja.

Aproximación normal a la Distribución Binomial: usando la función de densidad normal| matematicasVisuales
Aproximación normal a la Distribución Binomial: usando la función de densidad normal, línea naranja | matematicasVisuales

Una segunda aproximación es mejor y más práctica si usamos las tablas de la Distribución Normal. En este caso usamos una corrección de continuidad, como en este ejemplo:

Aproximación normal a la Distribución Binomial: usando la corrección de continuidad| matematicasVisuales

En el applet, esta aproximación se corresponde con la línea roja.

Aproximación normal a la Distribución Binomial: usando la corrección de continuidad, línea roja | matematicasVisuales

En el applet queremos representar intuitivamente cómo en algunos casos la aproximación no es aceptable y en otros es buena. Cuandod el error absoluto de la aproximación normal es menor que 0.005 dibujamos un rectángulo azul. Si la aproximación está entre 0.005 y 0.05 dibujamos un rectángulo amarillo y si la aproximación es menos precisa el rectángulo es rojo.

Aquí podemos ver un caso en el que la aproximación parece precisa:

Aproximación normal a la Distribución Binomial: una aproximación precisa | matematicasVisuales

En este caso la aproximación no es tan precisa:

Aproximación normal a la Distribución Binomial: la aproximación no es tan precisa| matematicasVisuales

Y en el siguiente caso la paroximación es mala:

Aproximación normal a la Distribución Binomial: la aproximación es mala | matematicasVisuales

En el applet podemos cambiar el parámetro n.

La media está representada por un triángulo azul y puede verse como el punto de equilibrio. Arrastrándolo con el ratón modificamos el parámetro p.

Cambiando estos dos parámetros podemos ver como cambia la precisión en la aproximación de la distribución Binomial por la Normal.

Los puntos grises controlan las escalas vertical y horizontal.

Haciendo click con el botón derecho y arrastrando podemos mover la figura a derecha e izquierda.

Si n es "bastange grande" y p está "próximo a" 0.5, la distribución será bastante simétrica y parecida a la Normal. En estos casos, la Distribución Normal puede darnos excelentes aproximaciones. Sin embargo, la aproximación no será precisa para valores pequeños de n. Hay varias reglas o criterios que intentan precisar cuando es adecuado el uso de la aproximación Normal (aunque esto depende del problema estudiado y de la conveniencia de una mayor o menor precisión). Por ejemplo, una regla dice que podemos usar la aproximación Normal sólo si

Aproximación normal a la Distribución Binomial: criterio para usar la aproximación normal | matematicasVisuales

La aproximación generalmente mejora si n crece y es mejor cuando p no está cerca de 0 o de 1.

Aquí podemos ver un ejemplo típico que representa el uso de las tablas de la Distribución Normal para calcular probabilidades en una Distribución Binomial (usando la corrección de continuidad).

Aproximación normal a la Distribución Binomial: ejemplo usando la corrección de continuidad, fórmula| matematicasVisuales
Aproximación normal a la Distribución Binomial: ejemplo usando la corrección de continuidad| matematicasVisuales

Cuando n es grande los cálculos exactos de probabilidades con la Distribución Binomial pueden ser muy largos, pero usando las tablas de la Distribución Normal estos cálculos son sencillos. Históricamente éste fue el primer uso de la Distribución Normal y fue introducido por Abraham de Moivre.

ENLACES

Distribución binomial | matematicasvisuales
Distribución binomial
La distribución binomial modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad constante de éxito.
Distribución Normal | matematicasvisuales
Distribución Normal
La distribución normal fue estudiada por Gauss.
Una, dos y tres desviaciones típicas | matematicasvisuales
Una, dos y tres desviaciones típicas
Propiedad de las distribuciones normales.
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Cálculo de probabilidades en distribuciones normales
Cálculo aproximado de probabilidades de diferentes intervalos en distribuciones normales.
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Distribución de Poisson
La distribución de Poisson también se llama distribución de sucesos raros.
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Distribución t de Student
La distribución t de Student fue estudiada por Gosset y se aproxima a una distribución normal.
Cálculo de probabilidades en distribuciones t de Student | matematicasvisuales