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Distribución binomial

Cuando se modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad p de "éxito" constante en cada ensayo utilizamos una distribución binomial.

Por ejemplo, el lanzamiento de n monedas iguales y contamos como éxito el sacar cara. La probabilidad de sacar cara puede ser cualquier valor entre 0 y 1.

Una distribución binomial se caracteriza por dos parámetros: n (un número natural) y p un número entre 0 y 1.

Si una variable aleatoria X sigue una distribudión binomial con parámetros n y p podemos escribir:

La probabilidad de obtener exáctamente k éxitos en n experimentos viene dada por la función de densidad (o función de masa):

donde

Esta expresión es el coeficiente binomial, "n sobre k", o el número de modos posibles de obtener k éxitos en n observaciones. Los coeficientes binomiales forman las filas del triángulo de Pascal y se puede calcular usando factoriales:

Cuando p = 0.5 la función de densidad es simétrica:

Distribución Binomial: función de densidad o masa simétrica | matematicasVisuales

En otro caso la función de densidad es asimétrica:

Distribución Binomial: función de densidad o masa asimétrica| matematicasVisuales

La media y la varianza de la distribución binomial son:

En el applet podemos cambiar el parámetro n.

La media está representada por un triángulo azul que podemos ver como el punto de equilibrio. Arrastrando este triángulo podemos modificar el parámetro p.

Los puntos grises son controles verticales y horizontales de la escala. Pulsando el botón derecho del ratón y arrastrando podemos mover el gráfico a derecha e izquierda.

Podemos mostrar la curva normal que tiene la misma media y varianza que la distribución binomial.

En algunos casos, esta curva normal es una buena aproximación de la binomial y puede usarse para hacer cálculos.

Distribución Binomial: curva normal como buena aproximación | matematicasVisuales

Podemos ver por qué se recomienda en estos casos extender el intervalo para calcular la probabilidd de la binomial en 0.5 por arriba y por debajo cuando usamos la distribución normal para aproximar la probabilidad (ajuste de corrección de continuidad).

Por ejemplo:

Distribución Binomial: curva normal corrección de continuidad | matematicasVisuales

En otros casos, esta curva normal no es una buena aproximación a la distribución binomial:

Distribución Binomial: en algunos casos la curva normal no es una aproximación precisa | matematicasVisuales

Incluso con la corrección de continuidad la aproximación no es buena:

Binomial distribution: curva normal mala aproximación incluso con corrección de continuidad | matematicasVisuales

Podemos ver esta aproximación normal a la distribución binomial con más detalle para comprender mejor en qué casos se puede utilizar con una precisión razonablemente buena.

ENLACES

Aproximación normal a la distribución Binomial | matematicasvisuales
Aproximación normal a la distribución Binomial
En algunos casos, una distribución Binomial puede aproximarse con una distribución Normal con la misma media y varianza.
Distribución Normal | matematicasvisuales
Distribución Normal
La distribución normal fue estudiada por Gauss.
Una, dos y tres desviaciones típicas | matematicasvisuales
Una, dos y tres desviaciones típicas
Propiedad de las distribuciones normales.
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales | matematicasvisuales
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales
Cálculo aproximado de probabilidades de diferentes intervalos en distribuciones normales.
Distribución de Poisson | matematicasvisuales
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson también se llama distribución de sucesos raros.
Distribución t de Student | matematicasvisuales
Distribución t de Student
La distribución t de Student fue estudiada por Gosset y se aproxima a una distribución normal.
Cálculo de probabilidades en distribuciones t de Student | matematicasvisuales