matematicas visuales home | visual math home
Distribución binomial

Cuando se modela una situación en la que hay n ensayos independientes con una probabilidad p de "éxito" constante en cada ensayo utilizamos una distribución binomial.

Por ejemplo, el lanzamiento de n monedas iguales y contamos como éxito el sacar cara. La probabilidad de sacar cara puede ser cualquier valor entre 0 y 1.

Una distribución binomial se caracteriza por dos parámetros: n (un número natural) y p un número entre 0 y 1.

Si una variable aleatoria X sigue una distribudión binomial con parámetros n y p podemos escribir:

La probabilidad de obtener exáctamente k éxitos en n experimentos viene dada por la función de densidad (o función de masa):

donde

Esta expresión es el coeficiente binomial, "n sobre k", o el número de modos posibles de obtener k éxitos en n observaciones. Los coeficientes binomiales forman las filas del triángulo de Pascal y se puede calcular usando factoriales:

Cuando p = 0.5 la función de densidad es simétrica:

Distribución Binomial: función de densidad o masa simétrica | matematicasVisuales

En otro caso la función de densidad es asimétrica:

Distribución Binomial: función de densidad o masa asimétrica| matematicasVisuales

La media y la varianza de la distribución binomial son:

El applet está desarrollado en HTML5 y puede ser manejado con ratón o con pantalla táctil desde una tableta o teléfono móvil.

Podemos cambiar el parámetro n de la distribución binomial. La media está representada por un triángulo azul que podemos ver como el punto de equilibrio. Arrastrando este triángulo modificamos la media y, por tanto, el parámetro p.

Los puntos rojos son controles verticales y horizontales de la escala.

Podemos mostrar la curva normal que tiene la misma media y varianza que la distribución binomial.

En algunos casos, esta curva normal es una buena aproximación de la binomial y puede usarse para hacer cálculos.

Distribución Binomial: curva normal como buena aproximación | matematicasVisuales

Podemos ver por qué se recomienda en estos casos extender el intervalo para calcular la probabilidd de la binomial en 0.5 por arriba y por debajo cuando usamos la distribución normal para aproximar la probabilidad (ajuste de corrección de continuidad).

Por ejemplo:

Binomial distribution, normal approximation example formula| matematicasVisuales
Distribución Binomial: curva normal corrección de continuidad | matematicasVisuales

En otros casos, esta curva normal no es una buena aproximación a la distribución binomial:

Distribución Binomial: en algunos casos la curva normal no es una aproximación precisa | matematicasVisuales

Incluso con la corrección de continuidad la aproximación no es buena:

Binomial distribution: curva normal mala aproximación incluso con corrección de continuidad | matematicasVisuales

Podemos ver esta aproximación normal a la distribución binomial con más detalle para comprender mejor en qué casos se puede utilizar con una precisión razonablemente buena.

MÁS ENLACES

Distribución Normal
Las distribucines normales fueron estudiadas por Gauss. Son variables aleatorias continuas (la variable puede tomar cualquier valor real). La función de densidad tiene forma de campana.
Distribuciones normales: Una, dos y tres desviaciones típicas
Una propiedad importante de las distribuciones normales es que si consideramos intervalos centrados en la media y con una longitud proporcional a la desviación típica, la probabilidad de estos intervalos es constante independientemente de la distribución normal considerada.
Distribuciones Normales: Función de Distribución (acumulada)
La función de distribución (acumulada) de una variable aleatoria X, evaluada en x, es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales que x. En esta página estudiamos las distribuciones normales.
Distribuciones Normales: Probabilidades de intervalos simétricos
Calculamos probabilidades de intervalos simétricos en torno a la media en distribuciones normales.
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson también se llama distribución de sucesos raros.
Distribución t de Student
La distribución t de Student fue estudiada por Gosset y se aproxima a una distribución normal.