Kepler y el dodecaedro rómbico. ÍNDICE
Esta página es un índice que tiene como objetivo facilitar el acceso a los diferentes asuntos relaciondos con Kepler y, en particular,
con el dodecaedro rómbico en el sitio web matemáticasVisuales.
Las páginas contienen información, imágenes, enlaces a otros recursos, bibliografía.
Partes de la información aparecen repetidas en diferentes páginas. Esto es debido a diferentes causas, entre ellas el que algunas
páginas se preparan como material complementario de talleres específicos.
Partiendo de cualquier de ellas, siguiendo los enlaces, recorreríamos todo lo que interesa para nuestro tema.
Este índice pretende orientar en esa búsqueda.
Esta estructurado en 5 apartados, una introducción y los cuatro puntos de vista que nos proporciona Kepler sobre el dodecaedro
rómbico (DR, para acortar).
0.- INTRODUCCIÓN
Kepler y el cálculo de volúmenes.
Página principal sobre el DR.
Construcción del DR.
1.- LOS PANALES DE LAS ABEJAS (NATURALEZA)
Kepler descubre el DR a partir de la observación de las bases de las celdas de los panales de las abejas.
2.- EMPAQUETAMIENTO DE ESFERAS (TÉCNICA).
Obtención de DR por compresión de esferas empaquetadas.
El DR tesela el espacio.
Conjetura de Kepler.
3.- UN CUBO CON PIRÁMIDES (ARTE, LEONARDO)
Leonardo Da Vinci y Luca Pacioli estuvieron muy cerca de descubrir el DR pero el mérito es de Kepler.
El DR como un cubo con pirámides nos permite hacer cálculos sencillos sobre el DR.
El DR tesela el espacio.
4.- DUALIDAD. POLIEDROS RÓMBICOS (MÁS MATEMÁTICAS)
Kepler se plantea ¿hay más poliedros rómbicos?. Gracias a la dualidad descubre que hay tres en total.
0.- INTRODUCCIÓN
0.1.- Kepler y el cálculo de volúmenes
Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo y matemático que recoge y amplía la tradición de Arquímedes en dos campos, por lo menos:
El cálculo de volúmenes y el estudio de los poliedros.
Para leer un poco sobre Kepler y el cálculo de volúmenes, el siguiente enlace es la traducción de un artículo que publicó
Convergende, la revista digital de la Mathematical Association of America:
Traducción del artículo 'Kepler: The Volume of a Wine Barrel' publicado en 2012 en Convergence ('Convergence: Where Mathematics, History, and Teaching Interact'), revista digital de la Mathematical Association of America.
Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.
Un segundo punto de vista sobre uno de esos problemas:
Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes. En esta página repasamos un problema de optimización.
Idea complementaria: Uso del Principio de Cavalieri para calcular el volumen de una esfera.
Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera
Aproximación intuitiva al cálculo del área de un círculo, según Kepler:
Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
0.2.- Kepler y el DR. Página principal.
Una página para tener una visión global del trabajo de Kepler en relación con el DR es la siguiente.
Se describe la exposición 'Kepler, las abejas y el dodecaedro rómbico' en la que se muestran varios conceptos
relacionados con el DR usando construcciones. Estas construcciones se han hecho con diferentes técnicas y, en particular,
es un ejemplo del uso de la impresora 3d para realizar grandes modelos.
A partir de ella, siguiendo los enlaces, recorreríamos toda la información sobre el tema en matemáticasVisuales.
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.
0.3.- Construcciones del DR.
La construcción de poliedros se fomenta para disfrutar, por su belleza y, especialmente, porque obtenemos conclusiones
matemáticas.
Las siguientes páginas fueron desarrolladas como material complementario para sesiones del Taller de Talento Matemático de
Zaragoza.
Contienen mucha información sobre poliedros pero se reseñan aquí por el material de construcción que se propone.
Corresponden a los años 2014 y 2019 en los que se propuso la construcción de una cajita que es un DR,
un octaedro que se coloca en su interior, una cajita que es un cubo que se coloca en su interior y una figura de origami
(Omega Star) que se coloca en el interior del cubo y que tiene la estructura de un cuboctaedro. Excelente actividad.
Estos son los modelos que se pueden descargar:
Un octaedro que se puede incluir en el dodecaedro rómbico:
Un cubo que se puede incluir en el dodecaedro rómbico. Con seis cuadrados se puede hacer una Omega Star de papiroflexia (que es un cuboctaedro) que cabe dentro del cubo:
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 18 de Octubre de 2019). El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros, en esta ocasión construiremos una cajita que es un dodecaedro rómbico. Estudiaremos la relación de este poliedro con el cubo, el octaedro y el cuboctaedro.
En 2015 realizamos la construcción de un cubo y un octaedro en casi-posición recíproca:
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
1.- LOS PANALES DE LAS ABEJAS (NATURALEZA).
La estructura hexagonal de las celdas de los panales de abeja está relacionada con la teselación del plano, optimización,
empaquetamiento de círculos.
Kepler va más allá y observa que el fondo de las celdas está formado por tres rombos y, de ahí, descubre el DR.
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
Una aproximación básica a un problema de optimización en torno a los panales. Se trata de comprobar cuál es el modo óptimo de cerrar
la celda hexagonal de las abejas con tres rombos. Se hace un planteamiento geométrico para plantear el problema y un uso sencillo
de la derivada de una función.
Este problema interesó a matemáticos y científicos del siglo XVIII, por ejemplo, Colin Maclaurin. Se muestra el contexto
histórico y cómo Fejes-Tóth muestra que la solución del cierre de la colmena con tres rombos no es óptima.
Pero ¿cómo son realmente los panales de las abejas? He hecho un intento de averiguarlo y el resultado es curioso.
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?
2.- EMPAQUETAMIENTO DE ESFERAS (TÉCNICA)
Thomas Harriot comparte con Kepler un problema técnico: ¿cómo almacenar de un modo óptimo las balas de cañón en un buque?.
A partir de este problema, Kepler concibe un segundo modo de generar el DR.
2.01.- Compresión de esferas.
Kepler conjetura cuál es el empaquetamiento óptimo de esferas (Conjetura de Kepler) y su imaginación le lleva a concebir
la idea de comprimir balas de cañón así empaquetadas. El resultado es (mejor, puede ser) el DR.
Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.
Podemos concluir que el DR tesela el espacio.
Es muy recomendable realizar el sencillo experimento de las balas de cañón, como se describe en la página. Es la
mejor manera de comprender conceptos relacionados con los empaquetamientos óptimos de esferas que, si se explican
solo con palabras, pueden ser difíciles de ver.
2.02.- Cuboctaedro.
Doce bolas rodean una bola central. Los centros de esas bolas están en los vértices de un nuevo poliedro: el cuboctaedro.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede ver como un truncamiento del cubo. También se describe la construcción con
origami de la Omega Star .
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
También puede verse como el truncamiento de un octaedro. Lo que nos habla de una relación (que luego exploraremos más) entre
el cubo y el octaedro.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
Así lo vio Leonardo:
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Á partir del experimento de las balas de cañón (y de las diferentes maneras que hay de realizar
el empaquetemiento óptimo de esferas) y del estudio del cuboctaedro podemos llegar a que existe otro poliedro
relacionado con el DR y que también tesela el espacio. Es el dodecaedro trapezo-rómbico, cuyo dual es el
cuboctaedro girado.
Estudiando el empaquetamiento de esferas obtenemos el dodecaedro rómbico y el dodecaedro trapezo-rómbico. Su dual es el cuboctaedro girado.
3.- UN CUBO CON PIRÁMIDES (ARTE, LEONARDO)
Una manera de generar nuevos poliedros es por truncamiento. Otro modo es añadiendo pirámides en las caras de un poliedro.
Procedimiento estudiado por matemáticos y artistas, por ejemplo, Pacioli y Leonardo.
El tercer modo de ver el DR es como un cubo piramidado.
3.0.- Pacioli y Leonardo
Ejemplos de poliedros piramidados según Leonardo:
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro aumentado.
En esta segunda versión del rombicuboctaedro aumentado podemos separar las pirámides y ver el interior de la figura. Luca Pacioli escribió que 'podemos ver el interior solo con nuestra imaginación'. La aplicación interactiva solo nos ayuda a ello.
A partir de un rombicuboctaedro podemos añadir pirámides a sus caras. Obtenemos un precioso poliedro que parece una estrella.
3.02.- El cubo piramidado.
Si consideramos el cubo piramidado, Leonardo está muy cerca de descubrir el DR, pero el mérito es de Kepler.
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
3.03.- El DR tesela el espacio.
A partir del cubo piramidado volvemos a ver la propiedad del DR de teselar el espacio.
Podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo. Este hecho tiene interesantes consecuencias.
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.
La construcción de un cubo formado por seis pirámides que, al desplegarse sobre otro cubo, forma un DR es especialmente
sugerente.
Una cadena de seis pirámides puede plegarse hacia dentro y formar un cubo y puede plegarse hacia fuera y colocarse sobre otro cubo y formar un dodecaedro rómbico.
3.04.- Medidas del DR.
Si partimos de que el DR es un cubo piramidado podemos calcular con facilidad dimensiones del rombo y volumen del DR.
La base es el rectángulo raíz cuadrado de 2 que está relacionado con el cubo, el octaedro, el tetraedro y el estándar del papel DinA.
En el siguiente enlace se muestran alguna de esas propiedades y, en particular, la sección diagonal del cubo. También ángulos.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
Las dimensiones del rombo se estudian aquí:
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
El volumen del DR es el doble del cubo que contiene. Se estudia el volumen aquí:
Podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo. Este hecho tiene interesantes consecuencias.
Una vex conocidas estas medidas del DR podemos también calcular el ángulo de Maraldi. Se supone que Giacomo Maraldi
calcula el ángulo obtuso del rombo midiendo panales de abeja.
El ángulo obtuso de las caras rómbicas del dodecaedro rómbico se conoce como ángulo de Maraldi. Solo se necesita un poco de trigonometría básica parar calcularlo.
Calcular la densidad de un empaquetamiento óptimo de esferas parece tarea complicada. Con lo que sabemos del DR resulta
especialmente sencillo. Es un buen ejemplo de cómo vamos sacando consecuencias paso a paso y combinando los varios aspectos
que rodean el estudio del DR.
A partir de un conocimiento básico del dodecaedro rómbico se puede calcular rápidamente la densidad del empaquetamiento óptimo de esferas.
4.- DUALIDAD. POLIEDROS RÓMBICOS.
Kepler ha descrito el DR desde tres puntos de vista distintos y complementarios.
¿Hay alguna relación entre el DR, el cubo, el octaedro y el cuboctaedro?
¿Hay más poliedros rómbicos?
4.01 Sólidos platónicos.
Un pequeño repaso:
Presentación de los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro.
El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
4.02.- Dualidad.
Si queremos comprender los siguientes puntos es fundamental el concepto de dualidad.
Si nos fijamos en caras y vértices tenemos una manera de colocar los poliedros duales.
Estudiamos el concepto de dualidad de poliedros aplicado a los sólidos platónicos. El cubo y el octaedro son duales, el icosaedro y el dodecaedro son duales y el tetraedro decimos que es autodual.
Si nos fijamos en las aristas obtenemos la 'posición recíproca'.
4.03.- Dualidad cubo y octaedro.
El cubo y el octaedro son poliedros duales.
Dualidad cubo-octaedro:
Construcción del cubo y del octaedro con impresión 3D. El cubo y el octaedro son poliedros duales.
El cubo y el octaedro en posición recíproca (cuboctaedro estrellado).
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
La parte común es el cuboctaedro y su envoltura es el DR.
Ya sabíamos que ambos poliedros están relacionados, ahora sabemos que son duales.
Esta es la cuarta manera de ver el DR: envoltura del cubo y del octaedro en posición recíproca.
Ya sabíamos que el DR contenía un cubo, ahora vemos que también contiene un octaedro. El DR se puede ver también como un octaedro piramidado.
4.04 Dualidad dodecaedro e icosaedro.
Kepler aplica esta idea a otra pareja de poliedros platónicos duales, el icosaedro y el dodecaedro.
Se puede ver más información sobre la dualidad entre icosaedro y dodecaedro al final de la página de la exposición
'Kepler, las abejas y el dodecaedro rómbico':
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.
La parte común, la intersección, es el icosidodecaedro, un poliedro arquimediano.
La envoltura es un nuevo poliedro rómbico descubierto por Kepler, el triacontaedro.
El triacontaedro y el icosidodecaedro son duales.
Este es el triacontaedro construido con Zome. Es su interior hay un icosidodecaedro de cartulina. Se muestra la dualidad de ambos poliedros.
En esta construcción podemos ver el dodecaedro (blanco) y el icosaedro (azul) en posición recíproca. En el interior, el icosidodecaedro (amarillo)
y el exterior, el triacontaedro (rojo).
Por analogía con el DR se obtiene otro poliedro rómbico usando la noción de dualidad.
4.05 El tetraedro es autodual.
El tetraedro es un poliedro autodual. ¿Qué ocurre si aplicamos este método?
Dos tetraedros en posición recíproca forman un poliedro ya conocido con anterioridad y que Kepler bautiza como
Stella Octangula (octaedro estrellado).
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
Construcción del tetraedro con impresión 3d. El tetraedro es un poliedro autodual. El centro del tetraedro.
El cubo es el tercer poliedro rómbico. No obtenemos un nuevo poliedro pero se reconoce que es un poliedro rómbico.
En la siguiente página se trata de la dualidad, posición recíproca, la stella octangula, el cuboctaedro, el DR y se construye uno con cartulina:
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
REFERENCIAS
Johannes Kepler - 'Strena seu De Nive Sexangula' ('Regalo de Año nuevo. Sobre el copo de nieve hexagonal', Traducción y notas de
Ana García Azcárate y Ángel Requena Fraile. Editorial Aviraneta, 2011. Este libro se puede descargar gratuitamente gracias a la generosidad
de sus autores a través del excelente sitio web de Ángel Requena 'Turismo Matemático' en su sección
Turismo Matemático. Libros descargables.
Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en
'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010.
Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
Kepler, Johannes. Harmonice Mundi. (The Harmony of the World)
Translated into English with an Introduction and Notes by E.J.Aiton, A.M. Duncan, J.V.Field. American Philosophical Society, 1997.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y
Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial
Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
W. Hope-Jones, 'The Rhombic Dodecahedron for the Young', The Mathematical Gazette, 1936.
Colin Maclaurin, 'On the Bases of the Cells wherein the Bees deposite their Honey', 1743.
L. Fejes Tóth, 'What the bees know and what they do not know', Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964). In
Project Euclid
D. Wallo, V. Duris, L. Rumanova, 'Geometry of bee cells rediscovered', The Electronic Journal of Mathematics and Technology.
Hermann Weil, 'Symmetry', pp. 83-92, Princeton University Press, 1952.
Caspar, Max. Kepler. Dover Publications, Inc., New York, 1993.
Coxeter, H.S.M. Introduction to Geometry. John Wiley and Sons, Inc, 1961.
Chap. 10, pp.148-160, 'The Five Platonic Solids'.
Heath,Thomas. A History of Greek Mathematics. Volume II: From Aristarchus to Diophantus. Oxford University Press, 1921.
Field, J.V. Kepler's Geometrical Cosmology. Bloomsbury, 2013.
Pedoe, Dan. Geometry and the Liberal Arts. St. Martin's Press, New York, 1978.
Szpiro, George G. Kepler's Conjecture. John Wiley and Sons, Inc. 2003.
SIGUIENTE
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
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Podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo. Este hecho tiene interesantes consecuencias.
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.
Una cadena de seis pirámides puede plegarse hacia dentro y formar un cubo y puede plegarse hacia fuera y colocarse sobre otro cubo y formar un dodecaedro rómbico.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 18 de Octubre de 2019). El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros, en esta ocasión construiremos una cajita que es un dodecaedro rómbico. Estudiaremos la relación de este poliedro con el cubo, el octaedro y el cuboctaedro.
Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.
El ángulo obtuso de las caras rómbicas del dodecaedro rómbico se conoce como ángulo de Maraldi. Solo se necesita un poco de trigonometría básica parar calcularlo.
Estudiando el empaquetamiento de esferas obtenemos el dodecaedro rómbico y el dodecaedro trapezo-rómbico. Su dual es el cuboctaedro girado.
A partir de un conocimiento básico del dodecaedro rómbico se puede calcular rápidamente la densidad del empaquetamiento óptimo de esferas.
Tetraxis es un puzle muy interesante, sencillo y bonito, diseñado por Jane y John Kostick. Estudiaremos algunas propiedades de este juego y su relación con el dodecaedro rómbico. Plantillas para construir un Tetraxis con cartulina e imanes. El rompecabezas hecho con impresión 3D.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
Traducción del artículo 'Kepler: The Volume of a Wine Barrel' publicado en 2012 en Convergence ('Convergence: Where Mathematics, History, and Teaching Interact'), revista digital de la Mathematical Association of America.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.
Se puede inscribir un cubo en un dodecaedro y podemos ver el dodecaedro como un cubo con seis 'tejados' añadidos uno en cada cara. Estos seis tejados del dodecaedro se pueden plegar en un cubo.
Si plegamos los seis tejadillos del dodecaedro dentro de un cubo queda un espacio vacío en el interior. Este espacio es un dodecaedro no regular con todas sus caras pentagonales iguales. Este dodecaedro es un caso particular de piritoedro.
