Integral de potencias con exponente natural
La fórmula de la integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri (aunque con otra notación, claro):
Queremos exponer aquí un procedimiento para calcularla.
La partición del intervalo se hace de modo que las bases están en progresión geométrica y también están en progresión geométrica las áreas de los rectángulos. Podemos sumar estos rectángulos y el resultado es tan próximo a la fórmula como queramos.
Si m es el número de rectángulos, consideramos la partición del intervalo [a,b]:
que forman una progresión geométrica de razón q, con m+1 puntos. Las bases de los rectángulos también forman una progresión geométrica de razón q, con m términos.
Las alturas de los rectángulos también están en progresión geométrica
Y también las áreas de los rectángulos.
Una progresión geométrica que sabemos sumar
Considerando un número de rectángulos m suficientemente grande, podemos aproximar q a 1 tanto como queramos y así obtenemos la fórmula de la integral.
REFERENCES
LINKS
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Riemann integral
The integral concept is associate to the concept of area. We began considering the area limited by the graph of a function and the x-axis between two vertical lines.
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Geometric series sum
One intuitive example of how to sum a geometric series.
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Archimedes' Method to calculate the area of a parabolic segment
Archimedes show us in 'The Method' how to use the lever law to discover the area of a parabolic segment.
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