Material para la sesión del Taller de Talento Matemático de Aragón que trata del tetraedro.
Se realizará el viernes 13 de marzo de 2026 a las 18:15 en la Facultad de Matemáticas en Zaragoza.
Es una actividad del Taller de Talento Matemático abierta a todo el mundo.
Objetivos:
OBJETIVO 1: GEOMETRÍA
El primer objetivo es pasar un rato agradable viendo algunas propiedades sencillas del tetraedro.
OBJETIVO 2: ARTE
El segundo objetivo es animar a la realización de modelos de poliedro usando técnicas sencillas (papiroflexia, cartulina, tubos, gomas, Zome, etc.). En esta sesión se realizará una figura diseñada por el escultor Rinus Roelofs.
Rinus Roelofs es un famoso escultor que se inspira en la Geometría para realizar sus obras.
Realizaremos una construcción en cartulina de la figura que se llama 'Stella Octangula' que está formada por dos tetraedros dentro de un cubo.
IMPORTANTE: Necesitaremos tijera, regla y pegamento (pegamento transparente, tipo Imedio o UHU). También papel, lápiz y calculadora científica.
Se anima a los participantes a construir algún poliedro y traerlo a la sesión para que todos nos animemos a hacer estas figuras.
OBJETIVO 3: QUÍMICA
En tercer lugar, veremos alguna relación del tetraedro y otros poliedros en la estructura de moléculas como la del metano. En particular, calcularemos de un modo sencillo el ángulo que forma el centro del tetraedro con dos de sus vértices.
Lo que sigue son unas notas de ampliación con enlaces para obtener más información sobre esta actividad.
El Tetraedro es el sólido platónico más sencillo. Conocido desde épocas muy remotas.
Los sólidos platónicos son cinco: tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro.
Están emparejados por una propiedad que llamamos dualidad: el octaedro y el cubo son poliedros duales, también forman pareja el icosaedro y el dodecaedro. El tetraedro se queda solo y decimos que es autodual.
PARA SABER UN POCO MÁS:
Sobre los sólidos platónicos y dualidad.
Una exposición sobre los sólidos platónicos.
Hay una relación entre el octaedro y el tetraedro que nos permitirá establecer una relación entre sus volúmenes.
El octaedro tiene un volumen mayor, pero ¿cuánto mayor?
Resulta que el volumen del octaedro es cuatro veces el del tetraedro de la misma arista.
Podemos ver que calcular el volumen del octaedro es muy sencillo y, a partir de esto, calculamos el volumen del tetraedro.
PARA SABER UN POCO MÁS:
Es esa página también se pueden ver otras técnicas de construcción de poliedros.
Nos interesa especialmente destacar ahora una relación que hay entre el cubo y el tetraedro: se puede incluir un tetraedro en un cubo en dos posiciones especiales.
Esto nos facilitará calcular el volumen del tetraedro de otra manera sencilla.
PARA SABER UN POCO MÁS:
En esa página también puedes aprender a construir un tetraedro con origami.
Para avanzar un poco más en estas ideas y en el volumen de las pirámides puedes seguir este enlace.
Una vez que hemos calculado el volumen del tetraedro vamos a seguir viendo algunas propiedades del tetraedro partiendo de su inclusión en el cubo.
Tenemos interés en calcular el "angulo tetraédrico" que es el ángulo que forma el centro del tetraedro y dos de sus vértices.
Este ángulo también se llamó "ángulo de Maraldi" y está relacionado con el ángulo del fondo de las celdas de las abejas y con uno de los poliedros rómbicos descubiertos por Kepler, el dodecaedro rómbico.
Este ángulo tiene mucho interés en Química pues muchos átomos en moléculas forman enlaces con este ángulo tetraédrico.
Podemos empezar estudiando el rectángulo que es una sección del cubo, que lo parte por la mitad a través de dos diagonales de caras opuestas.
Empezamos por el cuadrado. Recordamos que la diagonal de un cuadrado es:
Este rectángulo es una sección del cubo. A veces se le llama 'Rectángulo de plata'.
Es curioso que este rectángulo está relacionado con el tamaño estandarizado de papel que usamos en Europa y otras partes del mundo.
¿Qué tiene que ver este rectángulo con nuestro tetraedro inscrito?
Uno de los lados largos del rectángulo, es decir, una diagonal de una cara cuadrada del cubo es una arista del tetraedro. Contiene dos de los cuatro vértices del tetraedro.
Si nos fijamos en el rectángulo y en una de sus diagonales D:
Podemos calcular D como una aplicación básica del teorema de Pitágoras:
Si consideramos dos diagonales de esta sección, el punto de intersección B es el centro del cubo y también el centro del tetraedro inscrito (baricentro o centro de masas, ortocentro, circuncentro, incentro).
El ángulo tetraédrico o ángulo de Maraldi, que une el centro con dos cualquiera de los vértices del tetraedro, es el ángulo obtuso en B
Podemos calcular la medida del ángulo tetraédrico usando una función trigonométrica de nuestra calculadora. Especialmente fácil si consideramos que la arista del cubo (el lado corto de la sección rectangular) mide 2.
PARA INVESTIGAR:
El rectángulo nos puede dar más información sobre el tetraedro.
El segmento PQ es una arista del tetraedro.
El segmento TQ es una altura del triángulo que es la cara opuesta al vértice P del tetraedro. El hecho de que allí haya un ángulo recto es una propiedad de este rectángulo.
Es decir, el punto H es el baricentro de ese triángulo y, por lo tanto, la distancia TH es un tercio de TQ.
El punto H es el pie de la altura del tetraedro por el vértice P y pasa por el baricentro del tetraedro que es B.
La distancia BH es un cuarto de la distancia PH.
PARA SABER UN POCO MÁS:
Al estudiar la estructura de las moléculas, los químicos han observado que algunas tienen formas que son poliedros platónicos. Por ejemplo, los átomos de fósforo pueden formar tetraedros (el peligroso fósforo blanco), el boro se puede organizar en estructuras icosaédricas.
También han visto que algunos ángulos entre los enlaces de los átomos son especiales y se repiten en muchas moléculas. Estos ángulos pueden estar deformados por las interacciones de los electrones pero son buenas aproximaciones.
Uno de estos ángulos es el de 120 grados que podemos encontrar en moléculas planas como el trióxido de azufre S03 con el que se fabrica el ácido sulfúrico. Con este ángulo el grafito forma capas de estructura hexagonal con átomos de carbono. Estas capas están unidas débilmente entre sí y el grafito es un material blando.
El ángulo que nos interesa ahora es el ángulo tetraédrico de 109,5 grados.
La molécula del gas metano, CH4, está formada por un átomo de carbono y cuatro átomos de hidrógeno. Los cuatro átomos de carbono están en una disposición tetraédrica y el carbono está en el centro. El ángulo que forma el carbono central con dos hidrógenos es el ángulo tetraédrico de 109,5.
La estructura del amoníaco, NH3, tiene forma de pirámide. Uno de los vértices es el nitrógeno. Podemos pensar que esta molécula poco tiene que ver con el tetraedro.
Sin embargo, el nitrógeno tiene un par de electrones que no participan en los enlaces con los hidrógenos. Si tenemos en cuenta este par de electrones la estructura es tetraédrica. Este par de electrones ejerce una repulsión sobre el resto de electrones de la molécula que hace que el ángulo tetraédrico disminuya. Los ángulos de enlace del amoníaco son de 107 grados aproximadamente.
El agua, H2O, tiene forma angular. El oxígeno está en el medio. El ángulo que se forma es de 104,5 grados aproximadamente.
¿Está relacionado con el ángulo tetraédrico?
Resulta que sí. El oxígeno tiene dos pares de electrones que no participan en los enlaces con el hidrógeno. La disposición de los dos enlaces y los dos pares de electrones es tetraédrica. Estos dos pares de electrones ejercen una mayor repulsión sobre el resto y disminuyen un poco más el ángulo entre los átomos del agua.
Estos son sólo tres ejemplos sencillos de la importancia del ángulo tetraédrico en el estudio de la estructura de las moléculas.
Los modelos de moléculas nos los han prestado el Departamento de Química Inorgánica de la Universidad de Alcalá de Henares. Fueron realizados gracias al proyecto de innovación docente de la UAH, VISUALIZA LA SIMETRÍA.
PARA SABER MÁS:
En el estudio de la geometría de las moléculas, la Química tiene interés en la medida de los ángulos y en la longitud de los enlaces pero va mucho más allá, desde luego.
Una de las herramientas que usan son los grupos de simetría. La Teoría de Grupos es una rama muy importante de las Matemáticas.
El proyecto VISUALIZA LA SIMETRÍA explora estas relaciones con muchos ejemplos distintos de moléculas. Tiene enlaces a vídeos en los que se explica el grupo de simetría que corresponde a cada una de esas moléculas con sus elementos de simetría (giros, planos de simetría).
Pasamos a la construcción. Necesitamos dos hojas de cartulina de diferente color para hacer la figura.
Para realizar la Stella Octangula diseñada por Rinus Roelofs tenemos que recortar 8 piezas de dos colores.
Marcar con la tijera y una regla los dobleces de las tres solapas de cada pieza.
La figura está compuesta por dos tetraedros.
En las parejas que se establecen entre los sólidos platónicos por la dualidad, el tetraedro se queda solo y decimos que es autodual: un tetraedro es dual del otro.
En las parejas duales cada vértice de uno de los poliedros se corresponde con una cara de su poliedro dual. Esta es la clave para el montaje.
Empezamos pegando dos caras del mismo color por una de las solapas. Hemos empezado a formar un vértice. Se pueden pegar dos de las solapas sin problema.
Antes de pegar la tercera cara de ese vértice hay que colocar una de las caras del otro color. Cada vértice de un color está emparejado con una cara del otro. Sólo cuando tengamos colocada correctamente la cara del segundo color podemos pegar la tercera pieza para completar el vértice.
Por lo tanto, no pegar completamente un vértice hasta que tengamos bien colocada la cara del otro tetraedro que es su pareja. Si completamos un vértice sin colocar la cara ya no se puede poner en su sitio.
Éste será el resultado final:
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